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Montrer qu'un ensemble est une cloture algébrique
Bonsoir,
je bloque sur le petit problème que voici :
montrer que est une cloture algébrique de
.
je dois donc montrer que 1) est une extension algébrique et 2) F est algébriquement clos.
soit u dans F, alors il existe a dans , a algébrique sur
, tel que u=a; donc u algébrique sur
donc ok pour le 1).
ensuite je voulais montrer que toute extension algébrique de F est égale à F.
Soit donc L/F une extension algébrique. On sait que L/\mathbb{Q} est aussi une extension algébrique mais je n'arrive pas à poursuivre.
On a clairement que F\subset L.
Il reste donc à montrer que L\subset F.
On se donne un x dans L, je ne parviens pas à montrer que x est dans F.
Pouvez vous m'aidez ?
Merci.
je tente un truc(on sait jamais)
attention ça risque d'etre trés faux.
si on dit que F est une extension algébrique de Q contenue dans C(mais différente) et que C est algébriquement clos,peut-on dire que F est algébriquement clos?
ça semble totalement faux
On se donne un x dans L, je ne parviens pas à montrer que x est dans F.
>c'est clairement trivial
L extension algébrique de K donc x dans L est algébrique sur K mais sur L aussi!!
si tu fais un desin ça se voit!
x dans L est racine de X-x.
sauf erreur de compréhension bien sur
Pour montrer que x est dans F il faut montrer que :
.x est dans \mathbb{C}
..x est algébrique sur \mathbb{Q}
Pour le .. ok, mais le . est peut être moins trivial
x dans L
+
L/F une extension algébrique
donc il existe un polynome f à coefficients dans F tel que f(x)=0
à coefficients dans F
>on doit pouvoir faire un truc avec ça
Bonsoir lolo,
On a extension algébrique et
extension algébrique donc
extension algébrique ?
Ce que je ne parviens pas à prouver c'est que si je prends x dans L, alors x est dans
oui à priori on ne le sait pas, c'est pour cela que je ne vois pas comment s'en sortir facilement avec cette démarche pourtant naturelle.
donc reste la méthode du polynôme
Donc soit x dans L, alors x est algébrique sur F.
Il existe un polynôme P(X) de F[X] tel que P(x)=0.
Ce polynôme se présente sous la forme avec
dans F.
Ensuite ?
Pourquoi tu te contentes pas de dire que si P est à coeff dans Q barre, alors il est scindé sur C il s'ecrit alors P=(X-a1)..(X-an) les ai sont dans Q barre, donc P est scindé sur Q barre, donc Q barre est algébriquement clos.
DE toute façon il y a un resultat general (et pas dur) qui dit que la cloture algébrique d'un corps k (définie comme une extension algébrique K/k dans laquelle tout polynome de k[X] est scindé) est algébriquement close. Ici il est clair que ton Q barre est la cloture algébrique au sens définie entre parentheses.
J'irai même plus loin, il n'y a pas besoin de montrer qu'une cloture algébrique est algébriquement close.
Je suis d'accord que les a_i sont dans F( je dis pas car c'est justement ce que l'on veut montrer) mais pourquoi cela implique alors que P est scindé sur F[X] ?
Ici il est clair que ton Q barre est la cloture algébrique au sens définie entre parentheses
Je ne comprend pas ce passage.
On se fixe un corps K.
Une clôture algébrique de K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.
Si je dois montrer qu'un certain ensemble est une clôture algébrique, je dois montrer deux choses :
est une extension algébrique
est algébriquement clos
OK, il est calir que ton extension F est algébrique. Soit maintenat un polynome P dans F[X], alors il est scindé sur C, ok? Il s'ecrit P=(X-a1)...(X-an) les a_i étant algébrique sur F, mais etre algébrique sur F implique en particulier etre algébrique sur Q, sont les a_i sont algébriques sur Q, ils sont donc dans F et P est scindé sur F.
En fait on a qui est une extension algébrique. Tu essaye donc de montrer que F est algébriquement clos en prenant un polynôme non constant de F et en montrant qu'il est scindé sur F, c'est bien ça ?
Donc les sont dans
, mais pourquoi sont-ils algébrique sur F ?
Cela signifie que est une extension algébrique ? Pourquoi ?
Ca signifie pas du tout que C/F est algébrique ce qui est d'ailleurs faux...non ils sont algébrique sur F car solution d'un equation P(x)=0 avec P à coeff dans F.
si on veut montrer que est algébrique sur F :
il faut montrer que est dans
et il existe un polynôme P de F[X] non nul, unitaire tel que
J'aurai bien pris mais il est à coefficient dans
?
Ok, ok, je vois à peu près.
Tu vois comment faire la preuve du fait que F est algébriquement clos en utilisant que toute extension algébrique de F est égale à F ?
euhh peux tu reprendre le cheminement de ton raisonnement s'il te plait Rodrigo...
parce que pour moi dire que les coeffs sont dans Fc'est la meme chose que de dire qu'ils sont dans C et algébrique sur Q
"La" cloture algébirque de Q, Qbarre est algébrique sur Q et se plonge dans F (qui contient tous les elements algébriques), Or F est algébrique sur Q et se plonge dans Q barre. Do,nc F est isomorphe à Q barre et est une cloture algébirque de Q.
Pour binen fait tu peux tout plonger dans C (ce qui est possible car C est la cloture algébriques de R)
Qbarre est algébrique sur Q et se plonge dans F
F est algébrique sur Q et se plonge dans Q barre
>je comprend les "se plongent"
sinon j'ai saisi l'idée
Pour robby, les coeff de P sont dans F par définition puisqu'on a pris P dans F[X], ok? Ces racines (à P) elles sont dans C, mais elles sont algébirques sur F, qui est une extension algébrique de Q, elles sont donc algébrique sur Q (base téléscopique). Les racines de P sont donc dans F, et P est scindé sur F.
les coeff de P sont dans F par définition puisqu'on a pris P dans F[X], ok?
>ok!
Ces racines (à P) elles sont dans C
>pour moi elles sont dans F donc dans C.
mais elles sont algébirques sur F
>parce que les éléments de F sont algébriques sur F
si c'est ça ok
F, qui est une extension algébrique de Q
>oui
elles sont donc algébrique sur Q
>ok
Les racines de P sont donc dans F, et P est scindé sur F.
>là je comprend pas
C'est vrai que j'ai aussi du mal!
Car on l'écrit sous une certaine forme dans mais à la base c'est un polynôme de
Non les racines de P sont dans C a priori. comme quand tu prend un polynoe de R[X] et que tu le scinde sur C, a priori on ne sait pas que les racines sont dans F, on sait qu'elles sont dnas une cloture algébirque de F , mais ici on a pas besoin d'utiliser cette cloture algébrique, car on a sous la main un gros corps (C) alébriquement clos dans lequel on aura toutes nos racines.
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