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Niveau Maths sup
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Montrer qu'une application estsurjective

Posté par
Zeleph
30-12-15 à 17:37

Bonjour !

J'ai un petit problème avec un exercice, pour montrer qu'une application est surjective

Voici l'énoncé :

On note D = {z , module de z 1} le disque unité fermé.

On pose  
                       f : D\{0}
                                       z   (1+z²) / 2z

L'application est-elle surjective ?

Ce que j'ai fait :

Soit y

On résout l'équation y = f(z)
  
y = f(z)
y = (1+z²)/2z
2zy = 1+z²
-z²+2yz - 1 = 0

J'ai remarqué qu'on obtenait un polynôme du second degré, donc:

= b²-4ac = 4y²-4 = 4(y²-1) = 4(y+1)(y-1)

1er cas : = 0

donc y = 1 ou -1

On a une solution double z = y
selon les cas z = 1 ou -1 et module de z =1 donc z D

2eme cas :

0
ie y 1 et - 1

Et c'est là que je bloque, je ne vois pas comment arriver à trouver deux solutions distinctes, en effet il faudrait que je trouve une racine carrée de y (qui est complexe), et là ça deviendrait compliquée

Merci de votre aide d'avance

Posté par
mdr_non
re : Montrer qu'une application estsurjective 30-12-15 à 17:43

bonsoir : )

Citation :
J'ai un petit problème avec un exercice, pour montrer qu'une application est surjective
Ce n'est pas ton seul problème : /

Une fraction s'écrit (numérateur)/(dénominateur).
Des parenthèses délimitent le numérateur et d'autres parenthèses délimitent le dénominateur.
Ce ne sont pas les espaces qui délimitent quoi que ce soit.
On se permet d'omettre les parenthèses au numérateur s'il est composé d'un seul terme.
On se permet d'omettre les parenthèses au dénominateur s'il est composé d'un seul terme.

Posté par
mdr_non
re : Montrer qu'une application estsurjective 30-12-15 à 17:48

Commençons par noter que z = 0 n'est pas solution à l'équation de degré 2.

Citation :
On a une solution double z = y
selon les cas z = 1 ou -1 et module de z =1 donc z D
ok,

Citation :
2eme cas :

0
ie y 1 et - 1

Et c'est là que je bloque, je ne vois pas comment arriver à trouver deux solutions distinctes, en effet il faudrait que je trouve une racine carrée de y (qui est complexe), et là ça deviendrait compliquée
Si le discriminant est non nul on est donc assuré de trouver deux antécédents distincts, ce qui montre que tout complexe trouve au moins un antécédent dans D soit l'application est surjective.

Posté par
Zeleph
re : Montrer qu'une application estsurjective 30-12-15 à 17:54

Je ne suis pas sûr de ça

Si le discriminant est non nul, on est assuré de trouver 2 antécédents distincts, mais rien ne prouve qu'au moins l'un des deux antécédents est de module 1 :/

C'est pour ça que je ne peux pas continuer non ?

Posté par
mdr_non
re : Montrer qu'une application estsurjective 30-12-15 à 18:20

Oui je n'avais pas fait attention au domaine D,

z² - 2yz  + 1 = 0

Les solutions complexes a et b vérifient ab = 1 et a + b = -2y

|ab| = 1...

Posté par
Zeleph
re : Montrer qu'une application estsurjective 30-12-15 à 18:36

Ah oui, tout simplement !

Parce que du coup, on a forcément un des deux modules qui est 1

Souvent la solution est devant mon nez et j'la vois pas

Merci !

Posté par
mdr_non
re : Montrer qu'une application estsurjective 30-12-15 à 18:39

je t'en prie : ) bonne continuation : )



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