Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Montrer qu'une fonction est un polynôme

Posté par
mateo59 01-05-18 à 18:49

Bonjour,

Voilà, j'ai un exo d'analyse complexe dont le but est de montrer qu'une fonction f entière sur C dont le module tend vers l'infini quand |z| tend vers l'infini est un polynôme.

Pour cela, nous avions une indication qui suggérait de montrer dans un premier temps que 1/f est un polynôme, ce que j'ai réussi à faire en appliquant les inégalités de Cauchy.

Maintenant, je dois en déduire que f est un polynôme, mais je ne vois pas comment.
Pour moi, on a juste montré que f est une fraction rationnelle...

Voilà, si quelqu'un pouvait m'aider là dessus ce serait vraiment cool

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 01-05-18 à 19:05

Bonjour mateo59.
Si on démontre que 1/f est un polynôme, alors je ne vois pas comment f=1/(1/f) peut être un polynôme, sauf à être constante. Or l'énoncé dit que la limite de |f| est infinie en l'infini.... bizarre !!

Posté par
carpediemre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 01-05-18 à 19:12

salut

Citation :
Pour moi, on a juste montré que f est une fraction rationnelle...

certes ... mais une fraction rationnelle dont le dénominateur n'est pas constant admet au moins un pole ... et n'est pas une fonction entière sur C ...

Posté par
mateo59re : Montrer qu'une fonction est un polynôme 01-05-18 à 21:06

carpediem @ 01-05-2018 à 19:12

salut

Citation :
Pour moi, on a juste montré que f est une fraction rationnelle...

certes ... mais une fraction rationnelle dont le dénominateur n'est pas constant admet au moins un pole ... et n'est pas une fonction entière sur C ...


Je ne comprends pas ce que tu veux dire...
f serait alors constante (car entière par hypothèse) ?? Mais dans ce cas, elle ne peut pas tendre vers l'infini...

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 01-05-18 à 21:08

C'est curieux, c'est exactement ce que j'ai dit :

jsvdb @ 01-05-2018 à 19:05

Si on démontre que 1/f est un polynôme, alors je ne vois pas comment f=1/(1/f) peut être un polynôme, sauf à être constante. Or l'énoncé dit que la limite de |f| est infinie en l'infini

Posté par
mateo59re : Montrer qu'une fonction est un polynôme 01-05-18 à 21:12

Désolé je n'avais vu que la dernière réponse...
Du coup on a la même réflexion...

Le pire c'est que quand je cherche un peu dans des bouquins c'est un exo plutôt classique, mais à chaque fois ce passage est décrit comme «évident» et n'est pas du tout détaillé...

Posté par
ThierryPomare : Montrer qu'une fonction est un polynôme 01-05-18 à 22:19

Bonsoir,

Cf. ceci Analyse complexe

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 01-05-18 à 23:06

On va faire nettement plus court et plus digeste :

Si f vérifie les hypothèse de l'énoncé et est sans zéro alors elle est constante et donc polynomiale.

Donc, on suppose que f a des zéros. Par le théorème des zéros isolés on peut écrire \blue f(z) = \prod_{i=1}^{i=p}{(z-z_i)^{n_i}}g(z)=P(z)g(z)

où g est entière et sans zéros et \deg P =\sum_{i=1}^{i=p}n_i = \alpha>0

Ainsi, \dfrac{1}{f(z)} = \dfrac{1}{P(z)}\dfrac{1}{g(z)}

Par hypothèse, \dfrac{1}{|f(z)|} \underset{|z|\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0

Par conséquent, il existe une constante K réelle telle que \dfrac{1}{|g(z)|} \leq K |z|^{\alpha-1}

Par le théorème de Liouville \dfrac{1}{g} est polynomiale. Comme g est sans zéro, alors \dfrac{1}{g} est constante et donc g aussi.

Conclusion : f est un polynôme

Posté par
etniopalre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 01-05-18 à 23:25

Question peut-être idiote :
Il n'existe pas de  fonction entière ayant une infinité de zéros ?

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 01-05-18 à 23:37

Réponse peut-être idiote :
Visiblement tu n'as pas bien lu l'énoncé
(bon, en même temps, à ta décharge, je n'ai pas non plus été très explicite dans la transcription de ma pensée :
si f tend vers l'infini dans toutes les directions, alors sortie d'un compact, elle cesse d'avoir des zéros)

Posté par
etniopalre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 02-05-18 à 00:22

J'avais bien vu que |f(z)| + quand |z| +  et( que [ f = 0] est fini .

J'aurais du dire  " Question qui n'a rien à voir  (et peut-être idiote )

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 02-05-18 à 00:31

Auquel cas je t'aurais répondu : oui, il existe des bla bla, mais ce cas ne nous intéresse pas puisque patati patata.
Bref, dans tous les cas, cela me forçait à préciser ma démonstration : ton intervention est donc justifiée. amical merci à toi.
Voili voilou

Posté par
mateo59re : Montrer qu'une fonction est un polynôme 02-05-18 à 10:17

jsvdb @ 01-05-2018 à 23:06

On va faire nettement plus court et plus digeste :

Si f vérifie les hypothèse de l'énoncé et est sans zéro alors elle est constante et donc polynomiale.

Donc, on suppose que f a des zéros. Par le théorème des zéros isolés on peut écrire \blue f(z) = \prod_{i=1}^{i=p}{(z-z_i)^{n_i}}g(z)=P(z)g(z)

où g est entière et sans zéros et \deg P =\sum_{i=1}^{i=p}n_i = \alpha>0

Ainsi, \dfrac{1}{f(z)} = \dfrac{1}{P(z)}\dfrac{1}{g(z)}

Par hypothèse, \dfrac{1}{|f(z)|} \underset{|z|\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0

Par conséquent, il existe une constante K réelle telle que \dfrac{1}{|g(z)|} \leq K |z|^{\alpha-1}

Par le théorème de Liouville \dfrac{1}{g} est polynomiale. Comme g est sans zéro, alors \dfrac{1}{g} est constante et donc g aussi.

Conclusion : f est un polynôme


Ok, merci beaucoup
En fait j'avais fait exactement pareil pour montrer que 1/g est un polynôme et de là j'en avais déduis (par inattention sans doute) que 1/f était un polynôme... D'où le problème !

Posté par
carpediemre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 02-05-18 à 19:26

etniopal @ 02-05-2018 à 00:22

J'avais bien vu que |f(z)| + quand |z| +  et( que [ f = 0] est fini .

J'aurais du dire  " Question qui n'a rien à voir  (et peut-être idiote )
le fonction nulle ...

jsvdb : je ne comprends pas pourquoi à la ligne "par conséquent ... l'exposant de |z| est a- 1  (et pas a) ?

merci par avance

et je pense quand même qu'ilreste un pb (de rédaction/énonciation) :

si f(z) = P(z)g(z) et que g soit constante ou non 1/f  = 1/ (Pg) n'est toujours pas un polynome ...

Posté par
jsvdbre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 03-05-18 à 23:11

Si tu as  \dfrac{1}{P(z)}\dfrac{1}{g(z)} \underset{|z|\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 alors clairement 1/|g| est un o(1/|P|).

Par suite, comme P est un polynôme de degré \alpha, il existe un \beta \in [0;\alpha[ et une constante K \geq 0 tels que 1/|g| \leq K|z|^\beta.

Mais par le théorème de Liouville, 1/|g| est un polynôme. Donc \beta \in \N et \beta \leq \alpha-1.

Citation :
et je pense quand même qu'il reste un problème : ...

... qui a été résolu.
Il n'a jamais été question de montrer que 1/f est un polynôme; le posteur s'en est expliqué juste avant ton intervention et effectivement 1/f n'est pas un polynôme.

Posté par
carpediemre : Montrer qu'une fonction est un polynôme 04-05-18 à 07:29

merci


Rechercher
Menu
Espace membre
23 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1729 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !