Bonsoir
L'énoncé est:
"soit a,b réels tels que |a| < 1 et on pose la suite Un tel que U0 est complexe et pour tout n dans N,
Un+1 = a sin(Un)+b
1) Montrer que |Un+1 - Un| =< |a|^n * |U1-U0| puis que Un converge
Déjà c'est la premiere fois que j'entend parler de sinus d'un nombre complexe
Ensuite mes pistes sont de montrer que |Un+1-Un| =< |a| |Un-Un-1| puis par recurrence on a le resultat mais je suis bloqué avec |Un+1-Un| = |a| |sin(Un)-sin(Un-1)|
ou en bidouillant avec la formule d'Euler du sinus j'ai |Un+1-Un| = |a| |ch(Im(Un)) + ch(Im(Un-1))|
Merci d'avance pour l'aide
Salut,
Une piste : tu peux appliquer l'inégalité des accroissements finis à la fonction qui à t associe sin(t), sur l'intervalle [x,y] ...
Bonjour !
@Iderden : pas sûr que l'inégalité des accroissements finis soit bien connue pour les fonctions d'une variable complexe !
Et de toute façons la fonction complexe n'est pas majorée !
@nidya. Es-tu sûre que c'est qui est non réel, pas seulement ?
Car j'ai des doutes sur la majoration attendue : il me semble qu'on ait besoin de majorer par 1, ce qui est faux.
Bonjour, je revenais justement pour dire que j'avais effectivement vu sur google que cos n'est pas bornée sur C
Et oui je suis sûr de l'énoncé : a,b réel mais U0 complexe !
Ah mais oui, merci luzak !
Toute fonction entière bornée est constante ...
Le cosinus et le sinus ne risquaient pas d'être bornés !
Y-a-t-il une erreur du professeur dans l'énoncé peut être ? Peut que c'est sin ( |Un| ) qu'il a voulu mettre ou bien U0 réel ? Car ca commence a faire 2-3 jours que je planche dessus
Salut,
j'ai pas encore d'idée méga précise mais je pense en effet que le fait que a soit < 1 joue un rôle pour contrôler le sinus.
Car certe il n'est pas borné sur mais ici on a pas sin(z), on a une autre fonction donc peut être ne pas aller trop vite...
Par exemple, il faut essayer de voir si la partie imaginaire du nombre complexe que l'on obtient parvient à se stabiliser.
Mon intuition c'est que à cause du |a|<1 la partie imaginaire du nombre complexe Un+1 va faire en sorte que le sinus obtenus soit réel.
Si il devient réel ne serait-ce qu'une foi, il le sera tout le temps, puisque combinaison linéaire de réel, avec a et b réel.
Voilà la piste que je propose, chercher un moyen de prouver que au bout d'un certain rang le sinus devient réel.
En fait il y a ecrit "Montrer que pour tout n |Un+1 - Un| =< |a|^n |U1-U0|
Donc s'il existe un tel rang N tel que le sinus est reel à partir de ce rang on peut appliquer l'inégalité des accroissement finis pour les n>=N mais qu'en sera-il des n<N ?
Prenons un cas particulier :
.
Sauf erreur on a alors et .
Pour la suite est divergente.
Il me semble donc impossible de prétendre, dans tous les cas, à l'inégalité demandée. Cet énoncé est à revoir...
Un conseil : essaies plusieurs valeurs de et . Avec une calculette tu verras qu'il y a un problème !
Bonjour,
Utilisons l'identité trigonométrique:
Donc:
Nous avons aussi (facile à démontrer); , d'où:
; Avec :
CQFD
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