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montrer une egalité de 2 fonctions

Posté par
aya4545
30-11-21 à 12:51

bonjour
merci de m aider a terminer cet exercice
f(x)=   \sqrt(sinx)  définie sur [0 pi/2]=I
1) montrer que f est une bijection de I dans un intervalle J que l on determinera
2)   on pose     f-1=g montrez que  g est derivable sur [01[  et déterminer g'(x) pour tout x de [01[
3)on pose t(x)=  racine quaterieme de (1-x^4) et H=got
montrez  que pour tout x de [01] H(x)= pi/2 -g(x)
ce que j ai fait
1) f bijection de [0  pi/2]  dans [01]   en effet f continue et strictement croissante  sur  [0  pi/2]
2) et en utilisant la definition de la la derivée de la bijection reciproque j ai trouvé [b]g'(x)=2x/racine de (1-x^4)  
en utilisant le theoreme des accroisssement finis sur [0 x] et [x 1]
pour x  de   ]01[ on  montre facilement que g est dérivable a droite de zero et non dérivable a gauche de 1
je suis bloquée sur la 3eme question et merci

Posté par
larrech
re : montrer une egalité de 2 fonctions 30-11-21 à 13:26

Bonjour,

Tu as sin(g(x))=x^2

Calcule sin(H(x)) d'un côté et compare à sin(/2-g(x)) de l'autre.

Posté par
aya4545
re : montrer une egalité de 2 fonctions 30-11-21 à 13:48

salut
sin(H(x))=sin(got(x))=sin (f-1(racine quterieme de(1-x^4)))
et puis je suis bloquée
Nb  la fonction arcsin n est plus au programme
et merci  larrech

Posté par
larrech
re : montrer une egalité de 2 fonctions 30-11-21 à 14:39

f(g(x))=x =(sin(g(x)) et donc sin(g(x))=x2

De ce fait,

sin(H(x))=sin(g(t(x))=t2(x) =(1-x4)

puis sin(/2-g(x))= cos(g(x))=...

enfin, comme on est sur [0, /2], sin(a)=sin(b) implique a=b (bijection )

Posté par
aya4545
re : montrer une egalité de 2 fonctions 30-11-21 à 14:57

salut
posons    f^{-1}(\sqrt[4\,]{1-x^4})   =w  donc  \sqrt {sinw}=\sqrt[4\,]{1-x^4})=\sqrt { \sqrt {sinw}} = \sqrt[4\,]{1-\sqrt{cosw}^4})         donc cosw= x²  donc cos H(x)=x²

Posté par
aya4545
re : montrer une egalité de 2 fonctions 30-11-21 à 14:59

salut
merci infinement larrech

Posté par
larrech
re : montrer une egalité de 2 fonctions 30-11-21 à 15:08

De rien, mais finalement quel est ton raisonnement ?

Posté par
aya4545
re : montrer une egalité de 2 fonctions 30-11-21 à 22:51

salut
  on a d une part cos H(x)=x² donc  sinH(x)= \sqrt{1-x^4}  (en utlisant sin²x+cos²x=1)
d autre part  sin (pi/2-g(x))=cos g(x) or sing(x)=x² donc cosg(x)= \sqrt{1-x^4}
donc sin H(x)=sin(pi/2-g(x)) on montre facilement que pi/2-g(x) et H(x) sont dans l intervalle [-pi/2  pi/2] DONC pi/2-g(x)=H(x)

Posté par
larrech
re : montrer une egalité de 2 fonctions 30-11-21 à 22:59

OK.



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