Niveau Maths sup

Moyenne de cesaro

Posté par jonathan_normand (invité) 29-01-06 à 16:10

je suis sur un exercie de la moyenne de cesaro et je suis bloqué dès la prmière question, si quelqu'un pouvais me mettre sur un piste ou me débloquer

soit (Un) une suite réelle Uo=Vo Vn=(U1+...+Un)/n

1-Montrer que si (Un) converge vers L, alors de meme pour vn

1er essai:
on traite séparement (Un) croissant et (Un) décroissant.
(Un) croissant => (U1+...+Un) croissant =>n(Vn) croissant=>(Vn)croissant
dans ce cas je n'y arrive pas avec la limite L

2ème essai: on part de la definition+inégalité triangulaire+théorème des gendarmes
(Vn) converge vers L <=> pour tout E>0, pour tout n>no |Vn-L|<E
or <|Vn-L|<
il faut alors essayer de montrer que ||Vn|-|L|| et |Vn+L| convergent vers 0
le calcul ne finis pas ou surement qu'il y a une astuce que j'ai loupé

merci d'avance......

Posté par césaro 29-01-06 à 18:29

bonsoir,on doit y arriver en formant  |Vn-L|,on écrit que quelque soit epsilon >0 à partir d'un certain rang n1 |Uk-L|<epsilon
  on coupe la somme des Uk-L en deux, avant n1 et aprés n1 et l'on montre que
quelque soit  a>0 l'on peut trouver n tel que chacune des sommes soit < ou égale à a/2.   ça serait plus clair si j'étais équipée pour taper des maths

Posté par re : Moyenne de cesaro 30-01-06 à 15:06

les calcule sont bcp plus simples si tu commence par traiter le cas L=0 puis tu ti ramène en appliquant le resultat a Vn-L et Un-L

et pour montrer le cas L=0, faut "couper en deux" :

soit e quelconque dans R+*, donc a partir d'un certain rang N, |Un|< e

|Vn|<(somme |Un| de 1 a n)/n (innegalité triangulaire)

et c'est la qu'on coupe en deux :

|Vn|< (somme des |Un| de 1 a N-1)/n + somme des |Un| de N a n /n <(somme des |Un| de 1 a N-1)/n + (somme des e de N a n)/n = a(n) + e*(n-N)/n

avec a(n) qui tend vers 0, donc a partir d'un certain N' a(n)<e, donc pour n>max(N,N')

|Vn|< e + e*(n-N)/n<2*e

sauf erreur de ma part, bon et la tu peut conclue que Vn -> 0, puis tu te ramène facilement au cas general...

en revanche si tu veux traiter le cas L=+oo, il faut soit repartir avec une demarche similaire soit ce placer dans un cadre un peu plus general

Posté par re : Moyenne de cesaro 30-01-06 à 16:45

Bonjour,

Dans le cas où L est fini, voici une démonstration que j'avais (re-)faite sur ce fil : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)

Soit $(U_n)_n$ une suite convergente : $U_n\to l$
On pose : $V_n=\frac{U_1+...+U_n}{n}$
Montrons que $V_n\to l$ , c'est-à-dire :
$\fbox{\forall\vareps >0,\quad\exists N\in\mathbb{N},\quad \forall n\ge N,\quad |V_n-l|<\vareps}$

Soit $\vareps >0$
$|V_n-l|=|\frac{U_1+...+U_n}{n}-l|=|\frac{(U_1-l)+...+(U_n-l)}{n}|$

Or il existe un $N_1\ge 2$ tel que $\forall n\ge N_1,\quad |U_n-l|<\vareps /2$
On suppose $n\ge N_1$ .
$|V_n-l|\le\frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}+\frac{|U_{N_1}-l|+...+|U_n-l|}{n}$
$<\frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}+\frac{n-N_1+1}{n}\frac{\vareps}{2}$
$\le \frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}+\frac{\vareps}{2}$

Or le numérateur de la première fraction ne dépend pas de $n$ donc :
$\lim_{n\to +\infty}\frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}=0$
Donc il existe $N_2\in\mathbb{N}$ tel que $\forall n\ge N_2$ :
$\frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}<\vareps /2$

On prend $N=\max(N_1,N_2)$ . Pour tout $n\ge N$ :
$|V_n-l|<\frac{\vareps}{2}+\frac{\vareps}{2}=\vareps$
CQFD

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par hermimi (invité)re : Moyenne de cesaro 21-01-07 à 13:50

bonjour, je sais que ce sujet est un^peu vieux mais j'ai un devoir sur le meme sujet et je n'ai pas compris la démonstration pour l=0, alors je voulais savoir si quelqu'un aurait l'amabilité de me la refaire???

merci énormément d'avance

hermimi

Posté par re : Moyenne de cesaro 21-01-07 à 15:05

Bonjour,

regarde le post de Ksilver c'est clair hormis le fait que ce n'est pas en Latex.

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