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Moyenne harmonique.
Bonjour à tous 
Moyenne harmonique : la moyenne harmonique de a et b est le nombre réel h tel que
Montrer que peut aussi s'écrire
Faire une phrase pour dire ce que représente pour
et
. En déduire alors que
puis que a < h < b.
J'ai écrit :
soit
Mais je ne vois pas comment arriver à
Merci d'avance de vos réponses.
Philoux : eh oui c'est encore moi avec les moyennes...^^
je viens de lire ton post-scriptum en indice...
Philoux
de 1/h = (a+b)/2ab
rappel (A+B)/C = A/C + B/C
Philoux
Oui toujours les moyennes en fait j'ai une feuille recto verso à faire sur "Moyennes arithmétique, géométrique,harmonique, quadratique". Donc j'en ai encore beaucoup d'autres à faire dans ce goût-là...
Puisque 1/h = 1/2 (1/a + 1/b), 1/h est la moitié de la somme de 1/a et 1/b.
Mais je ne pense pas que ce soit ça.
si c'est ça
si tu posais H=1/h A=1/a et B=1/b, tu aurais H=(A+B)/2
ce qui doit être plus parlant pour toi...
la suite ?
Philoux
Déja je sais que si 1/b < 1/h < 1/a alors a < h < b puisque ce sont les inverses.
Sinon pour 1/b < 1/h < 1/a, puisque de la moitié de la somme forcément a < h < b. Mais en répondant comme ça, je me retrouve "à l'envers" de la question posée, non ?
je pense que tu as oublié d'indiquer que a < b (au début de l'énoncé, sûrement)
non ?
Philoux
Je les fait depuis que je suis ici mais j'ai abandonné ces derniers temps par manque de temps (je sais quelle belle répétition mais je n'ai pas envie de me creuser lâ tête à trouver une autre tournure ^^). Je comptais m'y remettre pendant les vacances mais la 1ere semaine j'ai eu un petit problème de santé qui m'a cloué à l'hôpital...
Oui désolée a et b sont deux nombres réels strictement positifs et on prendra pour tout ce qui suit 0 < a < b.
salut philoux c'est ronan43
pourriez vous m'aider pour mn exercice: exercice 7
parce que je suis vraiment bloké.
merci
si a < b
a+a < b+a
2a < a+b
a < (a+b)/2
-------------
si a < b
a+b < b+b
a+b < 2b
(a+b)/2 < b
ainsi
a < moyenne arithmétique de (a,b) < b
tu continues ?
Philoux
Euh... Philoux est ce que ton post de 11:34 s'adresse à moi ? Parce qu'il s'agit de moyenne harmonique pas arithmétique...
oui estelle
je te rappelle que 1/h est la moyenne arithmétique de 1/a et 1/b...
Phloux
Donc la moyenne harmonique est l'inverse de la moyenne arithmétique ?
si a < b
alors 1/a < 1/b
1/a + 1/a < 1/b + 1/a
2/a < 1/a + 1/b
1/a < 1/2 (1/a + 1/b)
--------------------------
1/a < 1/b
1/a + 1/b < 1/b + 1/b
1/a + 1/b < 2/b
1/2 (1/a + 1/b) < 1/b
ainsi
1/a < 1/2 (1/a + 1/b) < 1/b
C'est ça ?
d'où 1/b < 1/h < 1/a
et tu peux donc trouver que a < h < b
Philoux
de rien estelle
relis le lien wiki que je t'avais fournis : il y avait, de mémoire, cette démo, je crois
Philoux
Episode moyenne harmonique suite :
Justifier que rapport de l'aire et du périmètre du rectangle de côté a et b est égal au rapport de l'aire et du périmètre du carré de côté h.
Donc il faut montrer que ab/2(a+b) = h²/4h.
Soit que
Donc vérifions que les produits en croix soit égaux donc :
ab x 4 x 2ab/(a+b) = 4ab x 2ab/(a+b)
= (8a²b²)/(a+b)
2(a+b) x (2ab/(a+b))² = 2(a+b) x (4a²b²/a²+2ab+b²)
= (a+b) x (8a²b²)/(a²+2ab+b²)
sans faire les produits en crois tu pouvais facilement simplifier h²/4h = h/4=...
c'était immédiat
Philoux
Tu as raison
Donc ab/2(a+b) = h²/4h = h/4
= [ab/(a+b)] x 1/4
= 2ab/4(a+b)
d'où ab/2(a+b) = ab/2(a+b)
Suite :
Le ponit H cherché est la projection orthogonale du point K sur la droite (AB).
1 Exprimer cos KÔH en fonction des longueurs des côtés dans le triangle OHK rectangle en H.
Exprimer sin KMO en fonction des longueurs des côtés dans le triangle OKM rectangle en K.
Justifier que cos KÔH = sin KMO. Déduire de cette égalité que OK² = OH * OM.
Remplacer OK et OM par les valeurs précédemment obtenues et conclure.
2 Montrer que le point H du segment [AB] vérifie aussi la condition OA/OB = HA/HB (transformer l'égalité en utilisant les abscisses des points et retrouver h = 2ab/(a+b) ).
Voici l'image et l'énoncé complet :
Sur la droite graudée et orientée d'origine O, A et B sont les ponits d'abscisses repscectives a et b. Le point H cherché est la projection orthogonale du point K sur la droite (AB).
1 Exprimer cos KÔH en fonction des longueurs des côtés dans le triangle OHK rectangle en H.
Exprimer sin KMO en fonction des longueurs des côtés dans le triangle OKM rectangle en K.
Justifier que cos KÔH = sin KMO. Déduire de cette égalité que OK² = OH * OM.
Remplacer OK et OM par les valeurs précédemment obtenues et conclure.
2 Montrer que le point H du segment [AB] vérifie aussi la condition OA/OB = HA/HB (transformer l'égalité en utilisant les abscisses des points et retrouver h = 2ab/(a+b) ).
Je ne comprends déjà pas l'énoncé : qu'est-ce qu'une projection orthogonale ?
Je trouve :
cos KOH = OH/OK
sin KMO = OK/MK
mais qu'est-ce qu'une projection orthogonale et qu'est-ce que l'expression "en fonction des longueurs des côtés" veut dire ?
salut Estelle
revois ton sinus à partir des consignes...
Philoux
Exprimer cos KÔH en fonction des longueurs des côtés dans le triangle OHK rectangle en H.
Exprimer sin KMO en fonction des longueurs des côtés dans le triangle OKM rectangle en K.
en fonction des longueurs des côtés ?
je ne vois pas ce qui te gêne ?
les longueurs de côtés du triangle OHK sont OH, OK et HK...
Philoux
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