Le point cherché est la projection orthogonale du point K sur la droite (AB). Exprimer cos KÔH en fonction des longueurs des côtés dans le triangle OHK rectangle en H. Exprimer sin KMO en fonction des longueurs des côtés dans le triangle OKM rectangle en K.Justifier que cos KÔH = sin KMO. Déduire de cette égalité que OK² = OH * OM. Remplacer OK et OM par les valeurs précédemment obtenues et conclure. Montrer que le point H du segment [AB]  vérifie aussi la condition OA/OB = HA/HB (transformer l'égalité en utilisant les abscisses des points et retrouver h = 2ab/(a+b) ).

cos KOH = OH/OK
sin KMO = OK/OM

Dans OKM rectangle en K : KOH et KMO sont complémentaires donc le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre. Ce qui revient à OH/OK = OK/OM d'où OK² = OH * OM.

Je suppose que les valeurs précédemment obtenues sont celles trouvées par Minkus soit OK² = OA x OB.

Ainsi, OK² = OH x OM = OA x OB.

Je ne vois pas ce qu'il y a à conclure


Montrer que le point H du segment [AB]  vérifie aussi la condition OA/OB = HA/HB (transformer l'égalité en utilisant les abscisses des points et retrouver h = 2ab/(a+b) ).
Thalès ???