Bonjour HighSchool2005

Oui, tu as eu une bonne idée :
Notons K le compact f([a,b]).

Si V est tout entier, alors il n'y a rien à faire (car alors U contient toutes les fonctions continues sur [a,b] qui est bien un ouvert).
Sinon, son complémentaire, que l'on note W, est non vide.

1) Que peux-tu dire de W ?
2) Si l'on note d la distance entre le compact K et W, que peux-tu dire de d ? Pourquoi ?

Kaiser

Parles-tu du complémentaire de U ou de K ?

Je parle du complémentaire de U.

Kaiser

Dans ce cas, W est { g E | g([a,b]) V}
g([a,b]) = ]- , s[ ]t, + [ avec s, t
L'image de g est un ouvert.
Je ne comprends pas trop comment on peut parler d'une distance entre un compact
de R et un ensemble d'applications

Désolé, je me suis trompé : Comme écrit dans mon premier message, W est le complémentaire de l'ouvert V.

Kaiser

Je comprends un peu mieux maintenant.

Pour la distance entre K et W, je dirais que c'est la même chose que la distance minimale (inf) entre K et la frontière de V. Je pense que j'arrive assez bien à me le représenter étant donné qu'on est dans R.
Je ne vois pas comment représenter cette distance mathématiquement et surtout à quoi ça va nous mener.

par définition, cette distance vaut .

Cela dit, tu n'as pas encore répondu à mes deux questions (voir mon message de 11h22).

Kaiser

Pour information : cette distance va nous permettre d'exhiber une boule de centre la fonction f qui va être inclus dans U (et du coup, on aura montré que U est ouvert).

Kaiser

d'ac
W est fermé, comme complémentaire de l'ouvert V.

pour la distance je ne sais pas trop quoi en dire.

La distance est strictement positive.

toutafé ! (Saurais-tu le montrer ?)

Notons cette distance d.

i) Pour , "explicite" ce qu'est la boule fermée de centre f et de rayon .

ii) Donne alors une condition suffisante sur pour que cette boule soit incluse dans U (c'est là que la distance entre K et W va intervenir).

iii) conclure

Kaiser

i) Soit g une application de cette boule.
|| f-g || <=
Alors pour tout x de [a,b], |f(x) - g(x) | <=

ii) On peut prendre < d(K,W) > 0 On pourrait prendre aussi un epsilon plus grand mais je crois que celui-là convient.

iii) g([a,b]) K donc g U
donc U contient une boule ouverte donc U est un ouvert.

Pour montrer que d(K,W) > 0, je ne suis pas très sure de moi. A mon avis, cela vient du fait que K n'est pas ouvert et W est fermé or le complémentaire d'un fermé est ouvert donc K n'est pas le complémentaire de W donc K ne recouvre pas V et il y a bien des éléments dans V qui ne sont pas dans K.

Salut


Puis-je m'incruster ?

Comme K compact, il existe tel que d(K,W)=d(k,W)

Supposons d(K,W)=0

Alors d'où car W fermé

Donc

Impossible.

i)

Citation :
Alors pour tout x de [a,b], |f(x) - g(x) | <=

topo compact

Ce que je propose ne marche pas  ?

?

En fait je répondais juste à :

Justement, je réfléchissais à l'existence du k : on sait qu'il existe k dans K et x dans W tel que d(k,x)=d(K,W). Ce que tu dis est légèrement différent (mais je ne dis pas que ce n'est pas bon)

Kaiser

Merci de répondre kaiser

Je viens de regarder dans mon cours, et le fait qu'il existe d(k,W)=d(K,W) est une proposition de mon cours de topo.

EN fait, nous avons d'abord montré ce que tu dis, à savoir :

et le fait qu'il existe k ....

Je vais mettre la démo, ça me fera réviser

Considérons l'application d_B : A -> R qui est continue.

Pour tout a dans A, on a :

Puisque A est compact, alors il existe a_1 dans A minimum de la fonction d_B

Donc :

Par suite :

OK, En fait, c'était simplement la dernière égalité qui me faisait douter, mais c'est bien correct.

Kaiser

merci fusionfroide pour ta proposition alternative à la solution de Kaiser et aussi pour la démo. Franchement, je comprends mieux la proposition car le lien de Kaiser est intéressant mais je n'ai pas trop bien compris.

Est-ce que le fait de prouver qu'il y a un min nous assure que le min est positif ?

Merci Kaiser !