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multi-indice et espaces de Sobolev

Posté par
Rouliane 23-07-07 à 22:54

Bonjour,

J'ai du mal avec la notation avec les multi-indices.

Par exemple, dans le cas des espaces de Sobolev, on a :

4$ \fbox{H^m(\Omega)=\{v \backslash \;\;\forall \alpha \in \mathbb{N}^n,\; |\alpha| \le m \;\; D^{\alpha}v \in L^2(\Omega)\}}

Pour essayer de comprendre, je vais me restreindre à des fonctions de 2 variables et considérer m=2.

Ainsi, pour qu'une fonction 3$ v de 2 variables appartiennent à 3$ H^2(\Omega), il faut que les fonctions suivantes soient dans 3$ L^2(\Omega) :


4$ \bullet \; \frac{\partial v}{\partial x_1}
4$ \bullet \; \frac{\partial v}{\partial x_2}
4$ \bullet \; \frac{\partial^2 v}{\partial x_1^2}
4$ \bullet \; \frac{\partial^2 v}{\partial x_2^2}
4$ \bullet \; \frac{\partial^2 v}{\partial x_1 \partial x_2}
4$ \bullet \; \frac{\partial^2 v}{\partial x_2 \partial x_1}

C'est bien ça ou alors il manque des choses ?

Merci d'avance

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 23-07-07 à 23:01

Salut,

oui c'est cela(enfin t'as oublié v ).

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 23-07-07 à 23:03

salut,

Ok, merci

Effectivement, j'ai oublié v

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 23-07-07 à 23:31

Alors comme ça on fait du multipost par forums interposés

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 23-07-07 à 23:33

Une autre petite question : on appelle 3$ H_0^1(\Omega) la fermeture de 3$ \mathcal{D}(\Omega) dans 3$ H^1(\Omega).

J'arrive pas trop à visualiser les fonctions de 3$ H_0^1(\Omega).
Je peux déjà dire que les fonctions de cet espaces seront à support compact ( ce qui n'est pas forcément le cas des fonctions de 3$ H^1(\Omega) )

Mais qu'est ce que je peux en dire de plus ?

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 23-07-07 à 23:33

Citation :
Alors comme ça on fait du multipost par forums interposés


exact

En fait quand j'ai posté ici t'étais pas connecté, ni kaiser ou Tigweg, donc j'ai posté de l'autre coté

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 23-07-07 à 23:49

Ok

A part revenir à la définition de la fermeture je vois pas trop quoi dire. Sinon t'as un exemple d'une fonction de 3$H_{0}^{1}(\Omega) qui n'est pas dans 3$D(\Omega) et d'une fonction de 3$H^{1}(\Omega) qui n'est pas dans 3$H_{0}^{1}(\Omega)?

Pour le coup la, je crois que de l'autre côté on est beaucoup plus calé la dessus que moi(remarque m'a déja aidé sur les distributions et de ce que j'ai vu il est sacrément calé ).

Sinon tu dis qu'elles sont forcément à support compact pourquoi, le fait d'être à support compact se conserve par passage à la limite pour cette norme?

Au fait, c'est vrai que la c'est l'autre définition de Sobolev, moi on me l'avait introduit autrement

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:00

non j'ai pas d'exemples.

Le fait qu'elles soient à support compact étaient juste une intuition, car l'espace est la fermeture de D dans H1 mais ça doit etre faux.

Je vais aller faire un tour de l'autre coté alors

Sinon, petite question à laquelle tu sauras surement répondre :

Par exemple on considère un problème aux limites, dont on doit trouver u, et on se ramène alors à ( j'ai mis qu'une variable pour simplifier ):

4$ \Bigint_{\Omega} u'(x)\varphi'(x)dx + \Bigint_{\Omega} c(x)u(x)\varphi(x)dx =\Bigint_{\Omega} f(x)\varphi(x)dx

Dans mon bouquin on dit alors : " Pour donner un sens aux intégrales ci dessus, il n'est pas nécessaire de supposer trop de régularité : si u est de carré intégrable ainsi que tout ses dérivées partielles ( au sens des distributions )etc... "

Y'a 2 choses que je capte pas :

1°) Pourquoi on a besoin de f dans L^2 ? J'ai remarqué que par la suite on s'intéresse toujours à des fonctions de L^2, mais là c'est suffisant qu'elles soient dans L^1, non ?

2°) Pourquoi considère-t-on les dérivées aux sens des distributions, et pas les dérivées classique ? qu'est ce qui nous dit à ce moment là qu'on va devoir travailler avec les distributions et pas les fonctions usuelles ?

merci !

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:05

Pour le fait que f soit dans L2, ce serait pas pour appliquer Cauchy-Schwarz par hasard(comme l'autre fonction est à support compact).

Bien comme on suppose pas les fonctions dérivables, on met des hypothèses plus faibles car on peut toujours dériver au sens des distributions, si tes fonctions sont dérivables cela coincide bien sûr.

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:15

en fait on va normer H^1 ensuite en utilisant la norme L^2, ça vient donc de là.

Donc en gros ici on cherche les hypothèse les plus faibles possibles, mais a première vu, on aurait pu considérer u seulement dans L^1, c'est bien ça ?

Merci en tout cas.

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:22

Tu parlais de f ou de u, je t'ai parlé de Cauchy-Schwarz pour que le second membre existe si f est dans L2.

C'est quoi c?

Si u et u' sont L1, les intégrales ont un sens oui en majorant ta fonction phi(si c'est bien une fonction de D).

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:30

oui oublie mon histoire de H^1 ça n'a rien à voir

Moi je te parlais de u.

c est dans L infini et f est dans L^2. ( par hypothèse)

le dernier memebre existe donc par cauchy-schwarz.
et en fait c'est pareil pour les 2 derniers memebres, en appliquant toujours cauchy schwarz. C'est ça ?

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:34

Les deux premiers oui c'est pareil par Cauchy-Schwarz vu que c est bornée.

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:37

ok merci !

Je me sauve je me lève tot demain, bonne nuit !
ça a l'air bien mort l'ile ce soir ( Tigweg va rentrer bourré d'ici peu )

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:38

Ok bonne nuit

Tigweg est parti en vacances aujourd'hui il me semble

Tu donnes des cours à 8h?

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:40

non à 9h mais faut que j'amène la voiture au garage juste avant

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:44

Ok à la prochaine

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 00:48

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 15:39

Cauchy, pour l'exemple d'une fonction qui est dans 3$ H^1 mais pas dans 3$ H^1_0 : si 3$ \Omega est borné, la fonction définie sur 3$ \Omega par v(x)=1 est dans 3$ H^1 mais pas dans 3$ H^1_0 car elle ne vérifie pas l'inégalité de Poincaré ( en effet 4$ |v|_{1,\Omega}=0 )

En fait toute fonction constante non nulle sur Omega borné sera dans 3$ H^1 mais pas dans 3$ H^1_0

à vérifier tout de même...

Dans le cas de Omega non borné, je sais pas

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 15:48

Tiens sinon y'a un truc qui me gène dans la démo d'une inégalité :

On considère v une fonction de D, définie sur un ouvert de R^n, borné dans au moins une direction ( qu'on note x_n)

On note alors x=(x',x_n) où 3$ x' \in R^{n-1} et 3$ a<x_n<b

On prolonge cette fonction v par une fonction \bar{v} qui vaut v sur Omega et 0 en dehors.

Comme on a \bar{v}(.,a)=0, on peut écrire :

4$ \bar{v}(x',x_n)=\Bigint_a^{x_n} \frac{\partial \bar{v}}{\partial x_n}(x',t)dt    \;\;a \le x_n \le b

J'ai du mal à comprendre cette notation : dans l'intégrale, j'ai la dérivée par rapport à x_n, mais ce x_n est également une borne d'intégration
J'aurais plutot écrire un truc genre : 4$ \frac{\partial \bar{v}}{\partial t}(x',t)dt

non ?

Posté par
Camélia Correcteurre : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 15:56

Bonjour Rouliane

Comme d'hab, je ne sais pas trop de quoi tu parles, mais formellement je me débrouille.

La fonction \overline v a n variables, x'=(x1,...,xn-1) et xn.

On peut bien calculer \frac{\partial \overline v}{\partial x_n}(x',x_n)

L'égalité avec l'intégrale dit tout simplement que \overline v(x',x_n) est la primitive de \frac{\partial \overline v}{\partial x_n}(x',x_n) qui s'annule en a.

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 16:01

Merci camélia

Je suis bien d'accord qu'on peut calculer 3$ \frac{\partial%20\overline%20v}{\partial%20x_n}(x',x_n) mais ici :

* On a en même temps du \partial x_n dans l'intégrale, et aux bornes

* quel est le sens de l'écriture 4$%20\frac{\partial%20\bar{v}}{\partial%20x_n}(x',t) ?
On dérive par rapport à x_n une fonction qui ne dépend plus de x_n mais de t.

Posté par
Camélia Correcteurre : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 16:06

Si tu fais abstraction des x' qui ne bougent pas, ta seule variable est xn et en fait tu écris tout simplement que si f(a)=0,

\int_a^x f'(t)\, dt=f(x)

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 16:09

oui, j'avais essayé de raisonner comme ça, mais pour moi, 3$ f'(t)=\frac{\partial f }{\partial t} et non pas 3$ \frac{\partial f }{\partial x_n}

non ?

Posté par
Camélia Correcteurre : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 16:15

Si tu veux... la fonction dérivée est bien f'(x) ou {\partial f}{\partial x}(x) et t apparait quand on a besoin d'une lettre muette dans l'intégrale, puisque x est en borne...

De toute façon, la notation des dérivées partielles est souvent ambigue. Comment noter les dérivées partielles de la fonction g(x,y)=f(y,x)? La méthode de Dieudonné Dif pour la dérivée partielle par rapport à la i-ème variable n'est pas beaucoup mieux...

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 24-07-07 à 16:18

ok merci alors

effectivement c'est un peu ambigue les notations...

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 00:56

Bonsoir,

J'ai 2 questions :

c'est quoi une inclusion continue ?
Qu'est ce que ça veut dire que l'ensemble H_0^1 est strictement inclus dans H^1 ( si omega borné) ?

merci

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 01:25

Salut,

strictement inclus ca veut dire qu'il existe des éléments dans le plus grand qui ne sont pas dans le plus petit.

Injection continue ca veut dire que si i:E--->F, i est l'injection(donc linéaire) la continuité se traduit par le fait que ||x||_F <= C||x||_E.

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 01:28

merci.

Ok pour la stricte inclusion, mais s'il n'y avait pas inclusion stricte, ça voudrait dire que les 2 ensembles sont les mêmes ( je capte pas là )...

Ok pour la continuité. L'injection ici, c'est l'injection canonique ( application identité ) ?

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 01:30

Oui l'identité restreinte au sous-espace.

Oui si c'était pas stricte c'est qu'il y a égalité(enfin je suppose que la on dit ca pour dire qu'il n'y a jamais égalité).

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 01:32

ok merci.

Tu pourrais me donner un exemple d'injection continue stp ? ( un truc classique )

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 01:48

Par exemple, 3$L_2 \subset L_1 dans le cas où la mesure est finie et la constante est 3$\sqr{\mu(X)}.

Ou plus généralement pour p<q.

Tu sais faire le symbole d'injection en Latex?

La flèche courbée je sais pas si tu vois.

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 01:55

ok !

le symbole c'est ça : \hookrightarrow mais il passe pas ici.

Sinon, j'arrive pas trop à voir à quoi ça nous sert l'injection.

par exemple, je viens de lire que l'injection de 3$ C^0(\bar{\Omega}) dans 3$ L^2(\Omega) est continue. Ca nous sert à quoi de savoir ça ?
Généralement on utilise l'injection pour montrer quoi ?

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 02:03

Bien de savoir qu'elle est continue, cela te permet de comparer les normes, laquelle est la plus fine(donc dans quoi ca converge plus facilement tout ça, si ca converge dans l'un ca converge dans l'autre..).

Pour le symbole, je vais essayer j'ouvre mon éditeur

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 02:12

ok donc ici ça me permet de dire que si ça converge dans L^2 ça converge dans Co ?

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 02:13

Ok c'est bien ce symbole dont je parlais, je le trouve classe

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 02:13

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 02:15

Tu as quelque chose de la forme  || ||_2 <= C|| ||_c0 donc c'est le contraire.

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 02:16

oui bien sur !

Bon, je vais me coucher, mais je reviendrai demain parce que là c'est pas encore au point

Bonne nuit

Posté par
Cauchyre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 02:18

Ok, bonne nuit

Je vais aller lire ce qu'on t'as répondu sur le forum où il y a plus de latex

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 02:19

Posté par
Camélia Correcteurre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 16:41

Bonjour Rouliane

Les injections continues sont très importantes. Si tu prends une partie d'un espace topologique et si tu la munis de la topologie induite (c'est donc un sous-espace topologique) bien sûr que l'inclusion est continue. En revanche, si elle a dèjà une topologie, rien ne garantit que l'inclusion soit continue. Et il faut faire attention au sens qu'on donne au convergences. Le cas le plus connu est celui des fonctions continues sur un intervalle [a,b] munies des normes N[/sub][/sub] et N1.

Essaye de trouver un exemple d'espace muni de deux normes ou l'identité n'est continue ni dans un sens ni dans l'autre!

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 16:49

Merci Camélia.

Avant de chercher un exemple, je vais déjà essayer de comprendre ce que tu m edis sur les normes : quel est exactement ton exemple de l'injection continue pour l'espace C([a,b]) ? C'est l'application de C([a,b]) dans R ?

Posté par
Camélia Correcteurre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 16:57

Oh non!
Tu as donc pour f dans C([0,1]) (c'est plus commode que [a,b]
N_\infty(f)=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)| et
N_1(f)=\int_0^1 |f(t)|dt

Soient E l'espace normé (C([0,1]),N) et E1 l'espace (C([0,1]),N1).

La question est: Id:E1E est-elle continue?

Et Id:EE1 ?

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 17:00

Oui, je dirais que c'est continue dans les 2 cas

Posté par
Camélia Correcteurre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 17:02

Eh, non!

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 17:09

Mais on a ||Id||_{\infty}=1 et ||Id||_1 = 1/2 donc la 2ème est continue mais pas la première ?

Posté par
Camélia Correcteurre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 17:20

Attention, il ne s'agit pas de l'identité de [0,1] mais de celle de C([0,1]). Id(f)=f.
Tu as N1(f)N(f) pour tout f, donc Id:EE1 est continue.

En revanche, considère la suite de fonctions fn définie pour n>0, par fn=0 sur [1/n,1], fn(0)=1 et sur [0,1/n] tu prends le segment de droite qui unit (0,1) à (1/n,0).
Alors N1(fn) tend vers 0, donc (fn) converge vers la fonction nulle dans E1, mais la même suite ne converge pas vers la fonction nulle dans E (car N(fn)=1)

Ceci montre que Id:E1E n'est pas continue.

Posté par
Roulianere : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 17:23

ah oui d'accord, j'ai vraiment fait n'importe quoi

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : multi-indice et espaces de Sobolev 25-07-07 à 17:25

Je quitte l'ile, réfléchis et... à demain!

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