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n ème polynome de Bernstein

Posté par
Panter Correcteur 18-03-07 à 01:30

Salut . Pour cette propositon, c'est un resultat du cours "Suites et séries de fonction", le problème c'est que la majorité des condidats la néglige, alors je dis que ca été pas mal de fois donné à l'oral !!

Soit f une fonction continue sur [0,1] à valeurs réelles ou complexes. La suite de polynomes (B_n) défini par :

B_n(x)= \Bigsum_{k=0}^n {n \choose k} x^k(1-x)^{n-k} f(k n^{-1}).

est appelé n ème polynome de Bernstein associé à f.

Question : Montrer que (B_n) converge uniformément sur [0,1] vers f

Posté par
Cauchyre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 01:39

Salut,

oui c'est le théorème Weierstrass,on est pas obligé de passer par ces polynomes pour le prouver.

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 01:44

Oui, je sais, mais j'ai des elèves qui ont passé l'orale l'année dernière et ils ont échoué à cause de ce Maudit polynome qu'ils devaient montrer qu'il cv unif. vers f

Posté par
Cauchyre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 01:51

Argh,il y avait pas d'indications?

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 01:53

Non !

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 01:54

Bon je vais donner la solution complete demain soir si tout ce passe bien

Posté par
Cauchyre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 01:55

C'est bon on est pas si pressé,attend qu'il y ait des participants

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 01:56

Bien sur

Posté par
Roulianere : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 01:57

il me semble que c'est bien chaud à montrer, en tout cas pas très intuitif sans aucune indication.

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 02:00

oui, cé vrai, et en plus à l'oral, c'est impossible ! même moi, comme etant prof, j'aurai des difficultés à faire des exo de ce genre dans un concours !!

Posté par
Cauchyre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 02:02

L'examinateur donne surement des pistes je suppose.

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 11:44

peut-etre ....

Maintenant, essayez de faire l'exercice, je donne des indications :

*essayer de majorer |f(x)-B_n(f)(x)| en remarquant que f est uniformement cont. sur [0,1] ...

Commencez par ca et on verra ...

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 14:59

Bon puisque vous le trouvez compliqué, je vais donner la solution le soir !

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 23:39

Voici la solution :

* Etablissons d'abord la relation suivante valable pour tout réel x et tout entier p :

\displaystyle\bigsum_{k=0}^{n} k(k-1)\cdots(k-p+1) {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k} = n(n-1)\cdots (n-p+1) x^p

C'est clair pour p>n car alors tous les termes sont nuls, et pour p \leq n , il suffit de dériver p fois par rapport à x l'identité : (x+y)^n= \displaystyle\bigsum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k y^{n-k} , de multiplier par x^p et enfin de substituer 1-x à y .

* En utilisant les cas particuliers 0 \leq p \leq 2 et la decomposition : (k-nx)^2=k(k-1)+(1-2nx)k+n^2x^2
,on en déduit : \displaystyle\bigsum_{k=0}^{n}(k-nx)^2 {n \choose k} x^k (1-x)^k = nx(1-x) .

Notons que, pour 0 \leq x \leq 1 , le second membre est borné par \displaystyle\frac{n}{4}.

* Notons M = max_{[0,1]}||f(x)||; on a toujours ||f(x)-f(y)|| \leq 2M . Se donnant \epsilon >0, il existe un réel \psi >0 tel que, par uniforme continuité de f, on ait ||f(x)-f(y)|| \leq \frac{\epsilon}{2} pour tout (x,y) vérifiant |x-y| \leq \psi.Il en résulte, pour x \in [0,1] et n \in \mathbb{N} fixées :

pour un indice k tq : |x- \frac{k}{n}| \leq \psi , on a ||f(x)-f( \frac{k}{n})||\leq \frac{\epsilon}{2} .
Et pour k tq : |x- \frac{k}{n}| \geq \psi on a ||f(x)-f(\frac{k}{n}) || \leq 2M \leq 2M \frac{(k-nx)^2}{n^2 \psi^2} puisque dans ce cas : \frac{(k-nx)^2}{n^2 \psi^2} \geq 1
Pour tout k , on a donc l'inégalité :
||f(x)-f(\frac{k}{n})|| \leq \frac{\epsilon}{2} + 2M \frac{(k-nx)^2}{n^2 \psi^2}
puisque le premier membre est majoré, selon les cas, par le premier ou par le second terme du second membre.

* Les résultats précédentes justifient les majorations ci-dessous, valables pour tout réel x \in [0,1] :

||f(x)-B_n(x) || = || \displaystyle\bigsum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k} [f(x)-f(\frac{k}{n})] || . \leq \displaystyle\bigsum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k (1-x)^{n-k} [\frac{\epsilon}{2} + 2M \frac{(k-nx)^2}{n^2 \psi^2}] \leq \frac{\epsilon}{2} + M \frac{1}{2n \psi^2}
Comme \epsilon et \psi sont fixées, mais pas n, on peut choisir un rang N tq n \geq N on ait n \psi^2\epsilon \geq M . On a alors pour tout x \in [0,1], l'inégalité ||f(x)-B_n(x) || \leq \epsilon , DONC (B_n) CV.U VERS f SUR LE SEGMENT [0,1] .

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 23:40

VOILA !!!!

Posté par
Roulianere : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 23:42

Merci Panter, les seules démos que j'avais vu faisaient intervenir les proba, là ça change

Posté par
Panter Correcteurre : n ème polynome de Bernstein 18-03-07 à 23:44

de rien


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