Salut . Pour cette propositon, c'est un resultat du cours "Suites et séries de fonction", le problème c'est que la majorité des condidats la néglige, alors je dis que ca été pas mal de fois donné à l'oral !!
Soit une fonction continue sur
à valeurs réelles ou complexes. La suite de polynomes
défini par :
.
est appelé n ème polynome de Bernstein associé à .
Question : Montrer que converge uniformément sur
vers
Salut,
oui c'est le théorème Weierstrass,on est pas obligé de passer par ces polynomes pour le prouver.
Oui, je sais, mais j'ai des elèves qui ont passé l'orale l'année dernière et ils ont échoué à cause de ce Maudit polynome qu'ils devaient montrer qu'il cv unif. vers f
oui, cé vrai, et en plus à l'oral, c'est impossible ! même moi, comme etant prof, j'aurai des difficultés à faire des exo de ce genre dans un concours !!
peut-etre ....
Maintenant, essayez de faire l'exercice, je donne des indications :
*essayer de majorer en remarquant que
est uniformement cont. sur
...
Commencez par ca et on verra ...
Voici la solution :
* Etablissons d'abord la relation suivante valable pour tout réel et tout entier
:
C'est clair pour car alors tous les termes sont nuls, et pour
, il suffit de dériver
fois par rapport à
l'identité :
, de multiplier par
et enfin de substituer
à
.
* En utilisant les cas particuliers et la decomposition :
,on en déduit : .
Notons que, pour , le second membre est borné par
.
* Notons ; on a toujours
. Se donnant
, il existe un réel
tel que, par uniforme continuité de
, on ait
pour tout
vérifiant
.Il en résulte, pour
et
fixées :
pour un indice tq :
, on a
.
Et pour tq :
on a
puisque dans ce cas :
Pour tout , on a donc l'inégalité :
puisque le premier membre est majoré, selon les cas, par le premier ou par le second terme du second membre.
* Les résultats précédentes justifient les majorations ci-dessous, valables pour tout réel :
.
Comme et
sont fixées, mais pas
, on peut choisir un rang
tq
on ait
. On a alors pour tout
, l'inégalité
, DONC
CV.U VERS
SUR LE SEGMENT
.
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