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Nature d'une série

Posté par
Mercurye693 01-07-19 à 15:44

Bonjour,
J'ai un exercice que je ne sais pas du tout résoudre.

Il s'agit d'étudier la nature de la série de terme général Ln ( tan ( {\sum_{0}^{n}{}} \frac{(-1)^{k}}{2k + 1})).

Je vois bien que le terme général tend vers 0 en + l'infini (on reconnaît le dl de arctan de 1 dans le tan) donc on n'a pas de divergence grossière mais je ne sais pas quoi dire d'autre.

Je ne vois pas d'équivalent sympa ou de règle à appliquer qui pourrait me donner une convergence...

Avez vous des idées, des pistes à suivre ?

Merci d'avance

Posté par
larrechre : Nature d'une série 01-07-19 à 16:29

Bonjour,

La série ne serait-elle pas alternée ? Auquel cas, le critère spécial s'appliquerait.

Posté par
jsvdbre : Nature d'une série 01-07-19 à 16:31

Bonjour Mercurye693.

En écrivant \sum_{0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{2k + 1} = \frac{\pi}{4}+\varepsilon_n

En utilisant \tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}

En utilisant \ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)

En utilisant \ln(1+x) = \cdots

En utilisant \ln(1-x) = \cdots

On devrait pouvoir faire quelque chose ...

Posté par
jsvdbre : Nature d'une série 01-07-19 à 16:34

Ah oui, le critère des séries alternées ... nettement plus simple

Posté par
Mercurye693re : Nature d'une série 01-07-19 à 17:55

En effet, merci beaucoup !

Posté par
larrechre : Nature d'une série 01-07-19 à 17:56

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série 02-07-19 à 01:54

Bonjour , convergence d'une série

Posté par
jsvdbre : Nature d'une série 02-07-19 à 03:40

En fait c'est complètement direct :

je pose u_n = \sum_{0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{2k + 1}, v_n = \ln(\tan(u_n)), S_n = \sum_{k=0}^n v_n

On a 2/3 \leq u_n \leq 1

u_{2n} tend vers \pi/4 en décroissant.

u_{2n+1} tend vers \pi/4 en croissant.

Par monotonie croissante des fonctions tan et ln, alors \ln \circ \tan est bien définie et croissante sur [2/3,1] qui est un voisinage de \pi/4 et du coup :

(\ln \circ \tan)(u_{2n}) tend vers 0 en décroissant et donc v_n \geq 0

(\ln \circ \tan)(u_{2n+1}) tend vers 0 en croissant et donc v_n \leq 0.

Conclusion : (S_n)_n converge.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Nature d'une série 03-07-19 à 22:40

Oui jsvdb , c'est un de mes anciens posts où j'ai sûrement dû raté la simplicité

Posté par
jarod128re : Nature d'une série 03-07-19 à 23:30

Bonsoir,
À jsvd: une petite question: pour finir ta démo, utilises tu le fait que la série est  alternée ? Si oui ne faudra il pas prouver qu'elle est décroissante vers 0 en valeur absolue ? Merci

Posté par
jsvdbre : Nature d'une série 04-07-19 à 00:18

Oui, tu as raison, il manque la précision que tu mentionnes.
Il suffit simplement de remarquer que la suite (un-/4)n décroît vers 0 en valeur absolue.
La monotonie \ln \circ \tan fait le reste.

Posté par
jarod128re : Nature d'une série 04-07-19 à 00:42

Je voulais faire cette précision pour Mercurye693, car on n'oublie souvent cette condition.

Posté par
jsvdbre : Nature d'une série 04-07-19 à 00:58

Oui, et c'est une précision invalidante en cas d'oubli (car il y a des contre-exemples); tu as donc bien fait d'intervenir


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