Bonjour,
comment appliquer la comparaison à une intégrale à la série ?
J'ai fait les cas a <1 et a > 1 avec Riemann mais pour a=1 je suis un peu perdu
merci par avance de votre aide,
Bonjour,
ça date du début d'année et je ne me souviens plus trop; je vais m'y replonger pour voir ce que je peux y trouver,
merci,
Bonjour,
Pour a=1 on a
Donc on encadre de cette façon (car Un est décroissante ) :
Or les primitives tendent vers + donc la suite diverge ?
Pardon, le message est parti tout seul;
Pour a=1 on a
Une primitive de Un est
Donc on encadre de cette façon (car Un est décroissante ) :
Or les intégrales entre 1 et n ou n+1 tendent vers +
donc la suite diverge ?
Hors limite de
et limite de tendent vers +
quand n tend vers + donc les intégrales divergent donc la série diverge ?
Bonjour,
Je vais tenter deux réponses :
La première est d'appliquer le théorème de comparaison série-intégrale sans essayer de le redémontrer. Donc on regarde si diverge
La seconde est de redémontrer le théorème (pour comprendre ce qu'il se passe) :
est continue, positive décroissante.
Puisque diverge, avec p quelconque dans
(relation de Chasles + décroissante)
puisque , il s'ensuit que Donc
Ainsi on voit à partir de la démonstration que le calcul de l'intégrale suffit pour montrer la divergence de
Super, merci beaucoup !
Pour les deux premiers cas, voici ce que j'ai fait :
Si a>1 on se sert du théorème de Riemann avec B € ]a;1{ : qui tend vers 0 quand n tend vers +
donc la série converge.
Si a <1 on utilise le théorème de Riemann avec B € ]1,a[ :
qui tend vers + quand n tend vers +
donc la série diverge.
Est-ce correct ?
Bonjour,
peut être je peux faire plus simplement :
Si a<1 alors Un> 1/n pour n assez grand et donc la série diverge;
Si a>1 alors pour b € ]1;a[ on a qui tends vers 0 et donc la série converge ( comme b € ]1;a[ on a )
ok pour a<1
Par contre pour a>1, c'est incompréhensible, peux-tu nous produire une preuve plus clair en t'appuyant sur des définitions.
Si
Si , note que pour trouver un réel entre 1 et a, il te suffit de prendre
je ne vois pas pourquoi sortir un n^b quand on invoque le théorème de Riemann ... qui dit exactement que la série ln n/n^a converge pour a > 1
Le théorème de Riemann parle de 1/n^a;
Pour a>1 et b € ]1;a[ :
(désolé j'avais inversé a et b ...) or a et négatif donc : tend vers 0, ce qui prouve que \frac{ln(n)}{n^{a}} est négligeable devant 1/n^b donc par comparaison de SATP comme série 1/n^b avec a >1 diverge alors ln(n)/n^a diverge
pour reprendre ton raisonnement avec
On pose
Puisque car
Dire que
est équivalent à dire que pour tout , il existe un
On sait que converge (b>1), et puisque on a cette inégalité
à partir de là, tu devrais pouvoir conclure.
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