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Niveau Licence Maths 1e ann
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Nombre complexe

Posté par
ADTMD
22-03-16 à 15:37

Bonjour,

Je n'arrive pas à finir mon exercice :

Résoudre dans C l'équation
(1+i)z2 + 3 (-1+i)z -2-4i=0


J'ai calculé le discriminant :
\Delta = [3 (-1+i)]z2+4(1+i)(-2-4i)
=[9-18+9i]+(-4-12i)
=-13-3i

Mais je devrais trouver un nombre au carré pour que les racines soient facile à trouver ! Donc je pense avoir fait une erreur dans mon calcul.

Posté par
ThierryPoma
re : Nombre complexe 22-03-16 à 16:02

Bonsoir,

\Delta=9\,(i-1)^2+8\,(i+1)\,(2\,i+1)=\cdots

Bonne soirée !

Posté par
Skaro
re : Nombre complexe 22-03-16 à 16:05

= [3 (-1+i)]2-4(1+i)(-2-4i)
=[9*(-1+i)²]+4*(1+i)(2+4i)
=9*(1-2i-1)+4(2+2i+4i-4)
=9-18i-9-8+24i
= -8+6i

La racine n'est pas evidente non plus mais le resultat est correct.
Pour trouver la racine tu peut poser l'equation:
(a+ib)²=-8+6i         avec a et b reel
a²-b²= -8          et               2ab= 6     (identification partie reelle, imaginaire)
Et tu en deduit a et b

Petit detail, j'aurais commencer par diviser toute l'equation par 1+i pour simplifier les calculs derriere, mais ca ne change rien quand a la problematique de la racine.

Posté par
etniopal
re : Nombre complexe 22-03-16 à 16:30

-8 + 6i  = (3 + i)²

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Nombre complexe 22-03-16 à 17:12

Citation :
-8 + 6i  = (3 + i)²


Ah bon ?
-----
(1+i)z² + 3(-1+i)z -2-4i=0

Delta = (3(-1+i))² - 4(1+i)(-2-4i)
Delta = 9(1-1-2i) + 8 + 16i + 8i - 16
Delta = -8 + 6i

d = a + i.b
d² = -8+6i
a²-b²+2iab = -8 + 6i

a²-b² = -8
ab = 3

a²+b² = V(64+36) = 10

a²+b²+a²-b² = -8+10 = 2
2a² = 2
a² = 1

a = +/- 1
b = +/- 3

d = +/- (1 + 3i) (ce sont les racines carrées de Delta)

z = [-3(-1+i) +/- (1+3i)]/(2(1+i))

z1 = [-3(-1+i) - (1+3i)]/(2(1+i)) = (1 - 3i)/(1+i) = (1-3i)(1-i)/2 = (1-i-3i-3)/2 = - 1 - 2i  
z2 = [-3(-1+i) + (1+3i)]/(2(1+i)) = 2/(1+i) = 1(1-i)/2 = 1-i

S : {-1-2i ; 1-i}

Sauf distraction.  

Posté par
Skaro
re : Nombre complexe 22-03-16 à 17:25

Confirme par wolframalpha

Posté par
ADTMD
re : Nombre complexe 22-03-16 à 19:01

D'accord j'avais fait une erreur de calcul ! Merci à tous pour vos réponses !
Bonne soirée !

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre complexe 22-03-16 à 19:09

Bonjour
pas seulement une erreur de calcul : une erreur de signe dans ton discriminant, que tu as calculé comme b²+4ac au lieu de b²-4ac ....
suivie d'erreurs dans le calcul de (-1+i)²=(1-i)² = 1 -2i + i² = -2i, et pas 1 - 2 + i
et dans le calcul de (1+i)(-2-4i) = -2-4i-2i-4i² = -2 -6i +4 = 2 - 6i et pas -1-3i

revois les règles de calculs dans \C, ça ne peut pas te faire de mal !



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