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Nombre complexe
Posté par ClemHD
Bonjour tout le monde,
Tout d'abord, merci pour votre oreille attentive ! J'ai donc un exercice sur les complexes en 2 parties, la première, j'espère l'avoir réussi, c'est la 2ème où j'ai eu un peu plus de mal.
En voici l'énoncé:
Déterminer sous forme algébrique les racines carrées de + i. En déduire les valeurs exactes de
et de
.
Pour la détermination de la forme algébrique, j'ai utilisé z^2 = Z, avec les 3 systèmes à 2 inconnues a et b, j'ai finalement trouvé les 2 solutions de même signe:
Et l'autre solution est simplement du signe opposé pour la partie réelle et imaginaire.
Pour la deuxième partie, il faut donc déduire les valeurs exactes du cosinus et sinus (pi/12) à partir de ce résultat mais je reste bloquer. Je pourrais peut-être partir de cette forme algébrique pour trouver une forme trigonométrique mais je n'en suis pas certain...
Merci pour votre aide,
Clément
bonjour
mais dans la 1re partie, ce 
3 + i , tu l'as obtenu comment ? quotient de deux complexes ? ou autre ?
bonjour,
as tu noté l'argument de 3 + i ?
Perso, j'utiliserais la formule de Moivre
(cos x + i sin x) 1/2 = cos (x/2) + i sin (x/2) ...
Pour l'argument, oui c'est . Ce
+ i est donnée dans la consigne. Je n'ai pas du le calculer au préalable Malou.
Ah oui, excuse moi, j'étais pas concentré quand je parlais, ce que je rectifie maintenant. Pour l'argument, j'ai trouvé Pi/4 !
Ah mince j'ai mal simplifié, ça me donne pour le sinus et
pour le cosinus. C'est bon? Par contre je ne connais pas l'argument associé, serait-ce pi/12?
Merci pour ta patience ! 
Pour les argument, j'utilise une simple égalité où je trouve le sinus et le cosinus qui me permettent de trouver l'argument. = module(cos(téta)+isin(téta)
Je développe et identifie les parties réelles et imaginaires, c'est à dire cos(téta).2 = et sin(téta).2 =1
Ok carrément, oui j'avais pas cette habitude, ce qui me dérange est que ma méthode est censée être bonne puisque donnée par ma prof mais comme je ne parviens pas au bon résultat, je dois avoir fait des erreurs.
Finalement ça donne Pi/6 et si je comprend bien ! On peut facilement trouver un lien entre Pi/6 et Pi/12, reste à approfondir
Merci Leile, juste, tu me parles de Moivre pour trouver la formule algébrique ou bien pour définir les valeurs exactes de pi/12?
ClemHD Tu avais répondu à ma question à 13h20 juste avant que je ne poste mon message car la valeur de était fausse. Mais tu t'ai rattrapé.
Il te reste à utiliser Moire.
Donc avec + i, on a trouvé pi/6, je le rappelle, le module =2. Ainsi on a sous forme exponentielle 2 racines:
-ipi/12 et +
ipi/12
Avec ceci comment est-ce que je peux utiliser Moivre pour retrouver la formule algébrique au juste?
Merci beaucoup pour votre aide 
Ok donc je viens de comprendre l'exposant 1/2 de Leile qui revient à faire la racine piouf haha quelques automatismes à gagner... Après ça, j'arrive à 2(cos(pi/12)+isin(pi/12) mais ensuite je ne vois pas comment avancer réellement
Oui c'est pardon Razes !
Maintenant que j'ai cette forme, comment puis-je parvenir à trouver la valeur exacte de cos et sin de pi/12?
Encore pour vos précieuses aides
Quand on a un nombre complexe z sous deux formes
z = x + iy = m(cos a + isin a) ,
il est facile d'en déduire les valeurs exactes de cos a et sin a .
Dans le cas présent, j'ai des doutes sur l'expression que tu as donnée pour z (z² = Z) dans ton premier message.
Je crois l'avoir vérifié après je suis tout à fait sujet à l'erreur. Donc en bref, ces racines que j'ai trouvé, il suffit que je fasse correspondre partie imaginaire et réelle avec
Bonsoir
ClemHD @ 18-10-2018 à 11:38
Pour la détermination de la forme algébrique, j'ai utilisé z^2 = Z, avec les 3 systèmes à 2 inconnues a et b, j'ai finalement trouvé les 2 solutions de même signe:
Pour la détermination de la forme algébrique, j'ai utilisé z^2 = Z, avec les 3 systèmes à 2 inconnues a et b, j'ai finalement trouvé les 2 solutions de même signe:
c'est quoi cette fantaisie décrire 2/2 au lieu de 1 ?
Non non, j'ai juste oublié les parenthèses mais on a bien (+2)2 haha ! Quand même
Mais sinon je peux simplifier mais bon je n'y ai pas forcément trouver d'utilité.
Hey Pirho merci pour ton aide.
Alors je vois bien où tu veux en venir, sortir la racine carrée. Par contre, je ne vois pas comment trouver une équivalence sans avoir une identité remarquable pour 4+2 = (...)^2, pour le dénominateur on peut le mettre sous la forme 2^2, ce qui va permettre une fois qu'on aura trouvé le numérateur, de placer le carré sur l'ensemble de la fraction et d'arriver à supprimer la racine.
Merci pour ton aide