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Niveau Licence Maths 1e ann
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Nombre complexe

Posté par
Leffie33 15-12-18 à 13:10

Bonjour,
Je veux simplifier ce quotient:
\dfrac{(1+i)^{5}-1}{(1-i)^{5}-1}
pour cela on m'indique de passer passer par la forme exponentielle soit:

\dfrac{(1+i)^{5}-1}{(1-i)^{5}-1}=\dfrac{4\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi }{4}}-1}{4\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi }{4}}-1}=\dfrac{4\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi }{4}}-e^{0}}{4\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi }{4}}-e^{0}}

J'ai pensé à factoriser de façon à faire apparaître les formules d'Euler mais le 4\sqrt{2} me gêne, pensez-vous que la simplification peut s'arrêter là ?

Merci pour toute aide ??

malou edit > ***pour les "grandes" fractions, utilise plutôt \dfrac que frac ****

Posté par
Razesre : Nombre complexe 15-12-18 à 13:32

Bonjour,

\dfrac {z_1}{z_2}=\dfrac {z_1\bar {z_2}}{z_2\bar {z_2}}

Posté par
Pirhore : Nombre complexe 15-12-18 à 13:41

Bonjour,

une piste :

repasse par la forme trigonométrique en partant de ta 2e fraction

Posté par
Pirhore : Nombre complexe 15-12-18 à 13:42

bonjour razes, j'y avais pensé aussi mais c'est plus long à développer

Posté par
boninmire : Nombre complexe 15-12-18 à 14:18

C'est le quotient d'un complexe z par son conjugué.
On a donc un complexe de module 1 et d'argument double.
Calculer z en développant n'est pas si difficile.
On le divise ensuite par son module et on élève au carré.

Posté par
carpediemre : Nombre complexe 15-12-18 à 14:33

salut

les puissances de 1 + i ou de 1 - i sont relativement triviales ... (regarder le cercle trigonométrique)

Posté par
Razesre : Nombre complexe 15-12-18 à 15:15

@Pirho, cet que j'ai marqué  concerne la continuation du calcul de Leffie33.

z_1={4\sqrt{2}e^i{\frac{5\Pi }{4}}-e^{0}}; z_2=\bar{z_1}=4\sqrt{2}e^-i{\frac{5\Pi }{4}}-e^{0}

Posté par
Pirhore : Nombre complexe 15-12-18 à 18:35

Razes, oui mais çà reste à développer

c'est sans doute +- équivalent du point de vue longueur de calcul

Posté par
Pirhore : Nombre complexe 15-12-18 à 18:37

carpediem: c'est surement plus rapide mais si j'ai bien compris,  ce n'est pas ce que Leffie33 demandait

Posté par
carpediemre : Nombre complexe 15-12-18 à 18:53

une indication n'est pas une obligation !!!

on n'est pas obligé de suivre une indication ... stupide ...

Posté par
Razesre : Nombre complexe 15-12-18 à 19:35

Bonsoir,

On se casse la tête pour rien.

(1+i)^{2}=2i; \\ (1+i)^{4}=\left (2i\right )^{2}=\hdots; \\ (1+i)^{5}=\hdots

z_1=(1+i)^{5}-1=\hdots-1=\hdots; \\ z_2=(1-i)^{5}-1=\overline{z_1}=\hdots;

z_2\overline{z_2}=\left | z_2\right |^{2}=\hdots \\ z_1\overline{z_2}=z_1^{2}=\hdots

...

Posté par
carpediemre : Nombre complexe 15-12-18 à 19:40

ha ben enfin !!

et quoi-t-est-ce que je disais depuis le début ?

Posté par
Razesre : Nombre complexe 15-12-18 à 21:13

Leffie33 @ 15-12-2018 à 13:10

pour cela on m'indique de passer passer par la forme exponentielle soit:
Peut-être un petit bémol

Posté par
Leffie33re : Nombre complexe 16-12-18 à 12:32

Bonjour je vous remercie tous pour votre contribution cela m'a permis d'éclairer certains points 💓

Posté par
carpediemre : Nombre complexe 16-12-18 à 12:37

de rien


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