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Niveau Prepa (autre)
Nombre complexe
Posté par Saturo
Bonsoir,
Pour réviser mon ds de maths je suis tombé sur cette exercice et j'aurai besoin un peu de votre aide. Voici l'énoncé :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O;u;v ). Pour tout réel a appartenant à ] 0 ; Pi /2 [ on définit l'application f du plan complexe dans lui-même; qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que
z' = (1 - i cosa)z - cos a
1. Montrer que f est une similitude directe dont on précisera le rapport, en fonction de a et le centre.
2. Soit A le point d'affixe i et soit b l'angle de la similitude f tel que - pi <= b <= pi
a) Démontrer que si M est un point distinct de A, alors le triangle AMM' est rectangle et de sens indirect.
b) Prouver que si M est un point distinct de A , alors ( AM /AM' ) > ( 1/ sqrt (2)) ; en déduire que (-pi/4) < b < 0.
Bonsoir,
Tu pourrais écrire où ça coince et nous faire part de tes tentatives.
1) L'écriture en complexes d'une similitude directe est
Son rapport est et son centre en est le point fixe.
Bonsoir,
Oui désolé, J'ai fais la question 1 voici ce que j'avais fait :
z ‘ = ( 1 - i cos a ) z - cos a
L'écriture complexe d'une similitude : z' = x z + y
Avec |x| différent de zéro ;
Le rapport k = | 1 - i cos a | = sqrt ( 1 - cos^2a )
K = sin a différent de zéro car a appartient dans l'intervalle ] 0 ; Pi/2 [
Pour le centre j'ai résolu l'équation f(z) =z
( 1- i cos a ) z - cos a = z
z= i
Le centre a pour affixe i
Est-ce correct ce que j'ai essayé ?
Après ta rectification, oui, c'est correct.
Venons-en à 2)a) où il est écrit entre autre :
Citation :
... alors le triangle AMM' est rectangle ...
... alors le triangle AMM' est rectangle ...
Une question se pose : rectangle, peut-être, mais en quel sommet ?
C'est le moment de faire une figure voire dans un cas particulier.
Je te suggère de prendre
Cette figure permet de lever le doute sur l'angle droit du triangle
Tout est permis : même l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique du type GeoGebra
Bonjour,
Pour conjecturer le sommet où l'angle est droit, on peut faire une figure "papier crayon" avec z = 0, c'est à dire avec M à l'origine du repère.
Bonjour,
Désolé du retard ! J'ai fais la figure en prenant a = pi/3 et le point M d'affixe 2 . L'angle droit se trouve bien au point au M .
(z' - z ) / ( i - z ) dois appartenir à iR..
(z' - z ) / ( i - z ) j'ai trouver la même chose que elhor_abdelali .
Je me demandais si on ne pouvait pas passer par les modules et utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ?
Pour la question 2)b) j'aurai un peu besoin d'aide :
J'ai calculer : AM / AM' = 1 / sqrt ( 1 + cos^2 a ) mais j'arrive pas à montrer que le résultat est > à sqrt (2) / 2
Merci !
Il faut préciser les choses pour 2)a) :
Citation :
alors le triangle AMM' est rectangle et de sens indirect.
alors le triangle AMM' est rectangle et de sens indirect.