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Nombre complexe et équations

Posté par
Aite33 23-09-19 à 22:53

Bonsoir,

J'aimerais traiter avec vous un exercice de maths afin de savoir si d'une part je l'ai bien compris et d'autres part, éclaircir certaines zones d'ombres. Voici l'énoncé:

Soit 𝛼 = e^{\frac{i2\Pi }{5}}

.
1. Montrer que 1 + 𝛼 + 𝛼^2 + 𝛼^3 + 𝛼^4 = 0.
2. Soit 𝑧 = 𝛼 + \alpha ^{-1}
. Déterminer une équation du second degré vérifiée par 𝑧.
3. Résoudre cette équation et en déduire les valeurs de cos (2𝜋/5), sin (2𝜋/5) et tan (2𝜋/5)

Voici mes réponses:

1) Si on laisse \alpha sans le remplacer par sa valeur dans l'équation, on reconnait clairement une suite géométrique de premier terme=1 et de raison q=\alpha= e^{\frac{i2\Pi }{5}}

l'équation de l'énoncé si on la note Sn devient:

Sn=\frac{1-(e^{i2\Pi /5})^5}{1-e^{i2\Pi /5}}=\frac{1-(e^{i2\Pi })}{1-e^{i2\Pi /5}}

Pour prouver que cette somme vaut 0, j'ai 2 théories:
- placer e^i2pi sur un cercle trigo et remarquer que cela vaut 1 et donc 1-1=0

-  J'ai remarqué que les différents termes mis en jeux pouvaient s'apparenter à des racines n-ièmes (avec n=5) en faisant cela, on remarque que tout ces nombres valent 1. On retrouve (selon moi), la propriété qui nous dit que la sommes des racines n-ièmes est nulle.

2) Je suis actuellement en train de faire la question 2. J'ai beau cherché, je n'ai pas de pistes sérieuses. Avez vous des suggestions ?

3) (pas encore commencé)

N'hésitez pas à me faire part de vos conseils ainsi que de vos remarques. Merci d'avance

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 22:58

Bonjour Aite33.

1) Le fait que tu ais reconnu une série géométrique est excellent. Il y a juste que dans ce cas, avec la belle formule :

1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4 = \frac{1-\alpha^5}{1-\alpha}

la question est résolue puisque précisément \alpha^5 = 1

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 23:03

2) En première approche, faut pas chercher midi à 14h, z(z-(\alpha+\alpha^{-1})) = 0 convient.

Posté par
jsvdbre : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 23:05

à moins qu'il y ait une précision supplémentaire sur les coefficients de l'équation

Posté par
verdurinre : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 23:08

Bonsoir,
\mathbf{e}^{2\,\mathbf{i}\,\pi}=1 n'est pas une « théorie » : c'est un théorème.

Pour la question 2 tu peux diviser 1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4 par \alpha^2 et remarquer que \bigl(\alpha+\alpha^{-1}\bigr)^2=\alpha^2+\alpha^{-2}+2

Posté par
Aite33re : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 23:08

1) car \alpha ^{5}=e^{i2\Pi }=1 sur un cercle trigo n'est ce pas ?

2) oui ça semble bon. Mais dans l'hypothèse où je me retrouve face à ce genre de questions dans un devoir, pourrais tu me donner une astuce ou une démarche efficace me permettant de traiter ce type de question ?

Posté par
verdurinre : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 23:10

Je peux te donner une démarche efficace : essaye de penser.

Posté par
carpediemre : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 23:19

salut

Citation :
Pour prouver que cette somme vaut 0, j'ai 2 théories:
- placer e^i2pi sur un cercle trigo et remarquer que cela qui ? vaut 1 et donc 1-1=0

-  J'ai remarqué que les différents termes mis en jeux pouvaient s'apparenter à des racines n-ièmes (avec n=5) en faisant cela, on remarque que tout ces nombres valent 1.  ça m'étonnerait ...On retrouve (selon moi), la propriété qui nous dit que la sommes des racines n-ièmes est nulle.
du charabia et un tissu de bêtise à l'état pur !!!


à part ça pour diviser par a - 1 faudrait peut-être déjà affirmer que ce n'est pas nul ...

Posté par
Aite33re : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 23:27

j'essaye ta méthode verdurin mais je me retrouve confronté à l'égalité suivante:

\alpha +\alpha ^{-1}=-1-\alpha ^{-2}-\alpha ^{2}

A cette étape, je dois simplement élever de chaque  coté de l'égalité au carré ?

Posté par
Aite33re : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 23:37

carpediem @ 23-09-2019 à 23:19

salut

Citation :
Pour prouver que cette somme vaut 0, j'ai 2 théories:
- placer e^i2pi sur un cercle trigo et remarquer que cela qui ? vaut 1 et donc 1-1=0

-  J'ai remarqué que les différents termes mis en jeux pouvaient s'apparenter à des racines n-ièmes (avec n=5) en faisant cela, on remarque que tout ces nombres valent 1.  ça m'étonnerait ...On retrouve (selon moi), la propriété qui nous dit que la sommes des racines n-ièmes est nulle.
du charabia et un tissu de bêtise à l'état pur !!!


à part ça pour diviser par a - 1 faudrait peut-être déjà affirmer que ce n'est pas nul ...


1) Le qui désignait le e^{i2\pi }. Sauf erreur de ma part, il me semble que placé sur un cercle trigo cela fasse 1 (je me référe simplement à la valeur de 2pi sur un cercle trigoniométrique)...

2) cette partie n'est  qu'une hypothèse, j'ai finalement opté pour la méthode de la suite géométrique. Et mon hypothèse n'est qu'un constat, car en elevant tout les \alpha à la puissance n=5, je pensais reconnaître un résultat de cours car on s'apperçoit que tout les \alpha sont de la forme e^{i2k\Pi/5 }
e^{i2k\Pi/5 }. Ce n'était rien de plus qu'une suggestion...
e^{i2k\Pi/5 }

Posté par
verdurinre : Nombre complexe et équations 23-09-19 à 23:42

Comme \bigl(\alpha+\alpha^{-1}\bigr)^2=\alpha^2+\alpha^{-2}+2 on a  -1-\alpha ^{-2}-\alpha ^{2}=1-\bigl(\alpha+\alpha^{-1}\bigr)^2.

En posant z=\alpha+\alpha^{-1} ton égalité devient

z=1-z^2

Ce qui est une équation du second degré facile à résoudre.

Posté par
Aite33re : Nombre complexe et équations 26-09-19 à 22:35

Bonsoir,

J'en suis à la dernière partie de la question 3), j'ai les éléments de réponses mais j'aimerais retravailler le coté rigueur avec vous...

De l'équation du second degré, on trouve \Delta =\sqrt{5}

et Z1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} et Z2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}

Nb: les solutions sont de la forme Z=\alpha +\alpha ^{-1}. je dirais même des nombres complexes de formes exponentielles.

On remarque que \alpha=cos (\frac{2\Pi }{5})+i sin(\frac{2\Pi }{5})
                                         \alpha^{-1}=cos (\frac{-2\Pi }{5})+i sin(\frac{-2\Pi }{5})

Pour déterminer les valeur de cos; sin et tan, j'ai choisi de procéder à une identification des parties réelles et imaginaires.

Ce que je trouve bizarre, c'est que j'ai déterminé les valeur de cos, sin et tan uniquement à partir de Z1 alors que Z2 est aussi solutions de l'équations...

Je trouve: cos (\frac{2\Pi }{5})=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}

Pour le sinus, je ne vois pas de partie imaginaires dans Z1. Je suis donc partie de la relation cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1\Leftrightarrow sin (\frac{2\Pi }{5})=\sqrt{1-(\frac{1-\sqrt{5}}{4}})^{2}

La tangente n'est que le quotient du sin sur le cosinus

Mais ma résolution m'a l'air farfelue...

Pouvez vous me dire ce qui ne vas pas ?

merci d'avance

Posté par
verdurinre : Nombre complexe et équations 26-09-19 à 22:59

\alpha=\mathbf{e}^{\mathbf{i}\frac{2\pi}5} ou \alpha^{-1}=\mathbf{e}^{\mathbf{i}\frac{2\pi}5}.

C'est ce qui explique que tu n'aies pas besoin de Z2. En effet Z1xZ2=1.

Comme tu ne montres pas tes calculs, je te sais pas si ta méthode est bonne.

Mais il est vrai que \cos\frac{2\pi}5=\frac{-1+\sqrt5}4.

Pour le sinus il faut justifier qu'il est positif, c'est facile mais indispensable.

Posté par
Aite33re : Nombre complexe et équations 27-09-19 à 19:42

Bonjour,

je vais détaillé ma méthode afin que l'on puisse voir ce qui va et ce qui ne va pas...

Après avoir déterminé les solutions Z1 et Z2 de la question 3, j'ai posé Z1=\alpha +\alpha ^{-1}=e^{\frac{i2\Pi }{5}}+e^{\frac{-i2\Pi }{5}}=cos(\frac{2\Pi }{5})+isin(\frac{2\Pi }{5})+cos(\frac{2\Pi }{5})-isin (\frac{2\Pi }{5})=\frac{1-\sqrt{5}}{2}
\Leftrightarrow 2cos\frac{2\Pi }{5}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow cos (\frac{2\Pi }{5})=\frac{1-\sqrt{5}}{4}

Pour le sinus, j'aurais voulu raisonner par la méthode d'identification, mais dans Z1, les parties imaginaires se simplifiant, je me suis dit que l'on pourrait partir de la relation
cos^{2}(\frac{2\Pi }{5})+sin^{2}(\frac{2\Pi }{5})=1

\Leftrightarrow sin (\frac{2\Pi }{5})=\sqrt{1-(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^{2}}.

Est ce la bonne démarche ?


Nb: J'ai relu ce que tu as dit verdurin sur le fait que Z1*Z2=1, je suis tout à fait d'accord mais j'ai beau réfléchir, je n'arrive toujours pas à comprendre pourquoi on utilise pas Z2 pour trouver les valeurs de sin ou de cos...

Posté par
Aite33re : Nombre complexe et équations 27-09-19 à 21:22

petite correction,

cos (\frac{2\Pi }{5})=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}

et sin (\frac{2\Pi }{5})=\sqrt{1-(\frac{-1+\sqrt{5}}{4})^{2}}

Posté par
verdurinre : Nombre complexe et équations 27-09-19 à 21:24

C'est une démarche possible.
Elle repose sur une étude du signe de \cos\frac{2\pi}5 et de \cos\frac{4\pi}5 que tu n'as pas faite.
Il faut aussi faire attention au signe du sinus.

Tu peux l'appliquer à Z2 pour voir ce que ça donne.

Posté par
Aite33re : Nombre complexe et équations 27-09-19 à 21:29

merci du conseil. Pour le signe, je dirais que tout dépend du sens que l'on donne au sens trigo (sens des aiguilles d'une montre ou sens inverse) non ? autre option, tableau de variation de la fonction cos sur [-1;1] ?

Coïncidence, avec Z2, je trouve que l'on obtient la valeur de - cos (\frac{2\Pi }{5})...

Posté par
verdurinre : Nombre complexe et équations 27-09-19 à 21:51

Le sens trigonométrique ( sens direct ) est parfaitement défini et les aiguilles d'une montre tournent en sens inverse.

En fait 1+z+z^2+z^3+z^4=0 a quatre solutions : \{\alpha, \alpha^2, \alpha^3,\alpha^4\}.
Et on peut remarquer que \alpha^4=\alpha^{-1} et \alpha^3=\alpha^{-2}.

Posté par
Aite33re : Nombre complexe et équations 27-09-19 à 21:58

Vous ne vouliez pas plutôt dire 1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}=0 a 4 solutions ?

l'équation qu'on avait trouvé avec les Z n'était elle pas plutôt Z^{2}+Z-1=0 ?

En tout cas merci pour la piste. Je vais essayé de la retrouver même si cela risque de prendre un peu de temps

Posté par
verdurinre : Nombre complexe et équations 27-09-19 à 22:54

Aite33 @ 27-09-2019 à 21:58

Vous ne vouliez pas plutôt dire 1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}=0 a 4 solutions ?

Non, je ne voulais par dire ça.

Tu as défini \alpha par \alpha=\mathbf{e}^{\frac{2\mathbf{i}\pi}5}.
Puis tu as montré que 1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}=0.
On en déduit de façon immédiate que \alpha est une solution de l'équation d'inconnue z : 1+z+z^2+z^3+z^4=0 .

Cette équation a quatre solutions dans C.

Il reste a trouver la quelle est \alpha.


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