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Nombre complexe étude d’une suite

Posté par
Joko1
02-11-20 à 17:27

On définit la suite de nombre complexe (zn)par z0 =0 pour tout n de N, zn+1 = 3izn - 1

On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (O; vecteur u ; vecteur v) et on désigne pour tout n de N, par Mn le point d'affixe zn.

1) résoudre dans C l'équation z=3iz-1. On note A le point dont l'affixe a est la solution de l'équation.

2) On définit pour tout n de N, la suite de nombre complexe un par un= zn + 1/10 + 3/10i.

a) Démontrer que, pour tout n de N, un+1 = 3i* un.

b) démontrer par récurrence que, pour tout n de N, un = ( 1/10 + 3/10i) * 3^n * i^n.

3) a) Démontrer que la suite des distances (AMn) diverge vers +infini.

b) Calculer pour tout n de N, A(a) , Arg( (zn+2 -a) / (zn - a) et déduire l'alignement de Mn (zn) et Mn+2 (zn+2).

c) Démontrer que, pour tout n de N, les droites (AMn) et (AMn+1) sont perpendiculaires.

Désolé pour la présentation c'est ma première fois ici

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 17:28

Bonjour j'ai du mal à partir du 2) b) je voulais savoir si vous pouviez m'aider, c'est le sujet juste en haut

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 18:00

salut
tu as commencé qqchose pour la récurrence ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 18:04

Non je sais pas trop par où commencer. Pour l'initialisation il faudrait utiliser un= zn + 1/10 + 3/10i et z(0) ?

Posté par
LeHibou
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 18:06

Bonjour,

De 2,a) tu peux facilement exprimer Un en fonction de U0
De 2) tu peux déduire U0
En regroupant les deux, tu auras le résultat demandé.

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 18:07

bin oui calcule U0
et verifie qu'il vaut bien la meme chose avec la formule que tu dois démontrer

Posté par
LeHibou
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 18:08

ciocciu tu as répondu avant moi, je te laisse poursuivre

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 18:15

Pour la 2 a) j'ai trouvé
Un+1 = zn+1 + 1/10 + 3/10i
              = (3izn - 1) + 1/10 + 3/10i
              = 3i ( zn) -1 + 1/10 + 3/10i
              = [3i(zn + 1/10)] -1 + 1/10
              = 3i ( zn +1/10) -9/10
              = 3i ( zn + 1/10 + 3i/10)
              = 3i*un
Je dois trouver u0 à partir de un+1 ou de un ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 18:24

Citation :
Je dois trouver u0 à partir de un+1 ou de un ?

drôle de question

fais n=0 dans un= zn + 1/10 + (3/10)i

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 18:24

Je penses avoir compris, désolé ma question était bête un+1 quand n = 0 sert à calculer u1

U0 = 1/10 + 3/10i c'est ça ?

Posté par
ciocciu
re : Nombre complexe étude d’une suite 02-11-20 à 22:00

ok maintenant vérifie que l'expression Un que tu dois montrer est vraie pour n=0

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 19-11-20 à 17:54

Bonsoir notre professeur a mis le devoir en suspend un moment parce que l'on avait pas vu certaines notions, me revoilà

Du coup
Initialisation :
U0 = 1/10 + 3/10i
(1/10+3/10i) * 3^0 x i^0 = 1/10 + 3/10i
Donc p(0) est vraie

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 19-11-20 à 17:58

Pour l'hérédité je dois commencer par:
Un = zn + 1/10 + 3/10i
.
.
.
Et finir par un = ( 1/10 + 3/10i) * 3^n * i^n
Sauf que j'ai l'habitude de faire avec du un+1 donc je vois pas du tout comment faire

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 19-11-20 à 18:30

Je penses avoir réussi.

Un= (1/10 + 3/10i) * 3^n * i ^n   HR
À démontrer : formule vrai au Rang n+1
Un+1 =  (1/10 + 3/10i) * 3^n+1 * i ^n+1

Un+1= 3i * un
             =  3i * (1/10 + 3/10i) * 3^n * i ^n
             =  (1/10 + 3/10i) *  (3^n *3) (  i * i ^n)
              =  (1/10 + 3/10i) * 3^n+1 * i ^n+1

Conclusion : la proposition a été initialisé donc est héréditaire à partir de ce Rang

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 20-11-20 à 21:16

Bonsoir y'a quelqu'un, je suis dans l'attente d'une réponse depuis 2 jours 😅

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 20-11-20 à 23:08

oui , ta récurrence est correcte.

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 20-11-20 à 23:16

Pour la 3 a ) je dois faire

(Amn) : zn - ( 1/10 + 3/10i)  ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 20-11-20 à 23:25

lim zn quand zn tends vers + l'infini = + l'infini  et lim -1/10 quand -1/10 tends vers + l'infini = -1/10

Donc lim (amn) quand amn tends vers + l'infini = + l'infini ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d?une suite 21-11-20 à 11:37

AMn = | zn-((1+3i)/10| donc le module

Citation :
lim zn quand zn tends vers + l'infini = + l'infini


Parle du module parce qu'on ne parle pas de limite pour un nombre complexe.

Comment démontres-tu ça ? je n'ai pas vu de justification ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 11:57

Je dois partir de zn+1 ? Pour trouver à quoi correspond le module de zn ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 11:59

Zn+1 = 3izn -1
|zn+1| = |3i| |zn-1|  
C'est possible de faire ça ? Étant donné qu'il y a un -1 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 12:28

Citation :
C'est possible de faire ça ? Étant donné qu'il y a un -1 ?

non

Pense que | zn-((1+3i)/10| = |un| = .... sers toi de la question 2b)
et là tu as un produit de termes et |ab|=|a||b| (alors que |a+b| |a| + |b|)

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 12:48

|zn-((1+3i)/10| = |un|  = |(1+3i)/10| |3^n| |i^n|

Ça signifie que le module de zn = |3^n| | i ^ n| ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 13:12

oui et que vaut | i ^ n| ? et vers quoi tend le résultat ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 13:16

Vers un nombre positif donc + l'infini et pareil pour |3^n| donc lim zn tends vers + l'infini

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 13:23

non que vaut | i ^ n| ? ça ne tend pas vers l'infini. que vaut |i| ?

Citation :
donc lim zn tends vers + l'infini

encore une fois parle du module pas du nombre complexe, dis plutôt que AMn tend vers l'infini

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 13:26

Aaah ça tends vers 1

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 13:28

Et |3^n| tends vers + l'infini donc Amn tends vers + l'infini

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 14:00

OK

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 14:08

Pour la 3b

a= -1/10 -3/10 i

Je dois calculer le modulo ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 21-11-20 à 20:05

je ne sais pas ce que tu entend par modulo

Moi je lis qu'on te demande de calculer l'argument de (zn+2 -a) / (zn - a)

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 22-11-20 à 20:46

Arg (3^n+2 * i^n+2 - (-1/10 -3/10i))/ (3^n* i^ - (-1/10 -3/10i))

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 22-11-20 à 23:18

oui je ne comprends pas bien ce que tu écris, zn ne vaut pas 3^n* i^n

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 03:38

Je dois laisser zn ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 11:37

je ne comprends pas ta question.
on te demande l'argument de l'argument de (zn+2 -a) / (zn - a) donc de un+2/un
tu as l'expression de un en fonction de n donc calcule ce que ça donne ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 14:07

Arg (( 1/10 + 3/10i) * 3^n+2 * i^n +2) /( 1/10 + 3/10i) * 3^n * i^n )

Où je dois utiliser l'autre un ?
Arg ( zn +2 + 1/10 + 3/10i ) / ( zn + 1/10 + 3/10i)
?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 14:33

non c'est bien, il ne te reste plus qu'à simplifier l'expression.

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 16:03

Arg ( 3^2- i ^2)
Arg (10)

C'est ça ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 16:13

c'est un produit pas un - = arg (3^2)( i ^2) et ça ne vaut pas 10

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 16:16

Ah oui mince c'est -9 alors ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 16:21

oui et c'est quoi l'argument de -9 ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 16:35

-3pi ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 16:48

J'ai essayé de regarder des vidéos pour savoir comment trouver un argument mais on me donne que des choses graphiques

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 17:45

oui disons plutôt.
Et donc ? qu'est-ce que tu déduis sur le points A, Mn et Mn+2 ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 17:56

Ils sont tous alignés, A est très proche de 0 et après je vois pas pas trop 😅

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 18:15

Ce qui me bloque c'est que zn n'a pas de valeur fixe du coup je vois pas trop comment faire

Posté par
Glapion Moderateur
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 18:21

l'affixe de A c'est 1/10 + 3/10i, pourquoi dis-tu qu'il est proche de 0 ?? et puis en quoi cela a de l'intérêt ?

Citation :
Ils sont tous alignés

oui mais il faut le démontrer en utilisant le fait que l'argument que l'on vient de trouver vaut .

Rappelle toi que si a;b;c sont les affixes de points A;B;C l'argument de (b-a)/(c-a)
c'est l'angle (\vec{AB},\vec{AC}) et donc s'il vaut c'est que les points A;B;C sont alignés .

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 18:34

Je vois ducoup notre justification sera

(Verteur Mn(zn)A; Mnn+2(zn+2)A) = pi
Par conséquent les points sont alignés ?

Pour la dernière question il faut refaire la même démarche et trouver l'argument pour en déduire que les droites ( Amn ) et (Amn+1 ) sont perpendiculaires ?

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 19:42

La justification pour la 3) b ) est elle bonne ?

J'ai essayer la dernière ça m'a donné ça :

On a (zn+1 -a) / (zn - a)
soit un+1/un = 1/10 + 3/10i) * 3^n+1* i^n +1) /(                     1/10 + 3/10i) * 3^n * i^n )
                             = 3i
Et par suite, Arg (zn+1 -a) / (zn - a) = pi
On déduit que ( vecteur AMn+1; vecteur Amn)= pi
C'est à dire que les droites (AMn+1) et ( AMn ) sont perpendiculaires

Posté par
Joko1
re : Nombre complexe étude d’une suite 23-11-20 à 20:01

Mon dm a rendre pour demain, je dois aller dormir 3h  d'écart entre la métropole et où j'habite , je vais noter ce que j'ai fais  quand même, merci pour votre aide

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