On définit la suite de nombre complexe (zn)par z0 =0 pour tout n de N, zn+1 = 3izn - 1
On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé direct (O; vecteur u ; vecteur v) et on désigne pour tout n de N, par Mn le point d'affixe zn.
1) résoudre dans C l'équation z=3iz-1. On note A le point dont l'affixe a est la solution de l'équation.
2) On définit pour tout n de N, la suite de nombre complexe un par un= zn + 1/10 + 3/10i.
a) Démontrer que, pour tout n de N, un+1 = 3i* un.
b) démontrer par récurrence que, pour tout n de N, un = ( 1/10 + 3/10i) * 3^n * i^n.
3) a) Démontrer que la suite des distances (AMn) diverge vers +infini.
b) Calculer pour tout n de N, A(a) , Arg( (zn+2 -a) / (zn - a) et déduire l'alignement de Mn (zn) et Mn+2 (zn+2).
c) Démontrer que, pour tout n de N, les droites (AMn) et (AMn+1) sont perpendiculaires.
Désolé pour la présentation c'est ma première fois ici
Bonjour j'ai du mal à partir du 2) b) je voulais savoir si vous pouviez m'aider, c'est le sujet juste en haut
Non je sais pas trop par où commencer. Pour l'initialisation il faudrait utiliser un= zn + 1/10 + 3/10i et z(0) ?
Bonjour,
De 2,a) tu peux facilement exprimer Un en fonction de U0
De 2) tu peux déduire U0
En regroupant les deux, tu auras le résultat demandé.
Pour la 2 a) j'ai trouvé
Un+1 = zn+1 + 1/10 + 3/10i
= (3izn - 1) + 1/10 + 3/10i
= 3i ( zn) -1 + 1/10 + 3/10i
= [3i(zn + 1/10)] -1 + 1/10
= 3i ( zn +1/10) -9/10
= 3i ( zn + 1/10 + 3i/10)
= 3i*un
Je dois trouver u0 à partir de un+1 ou de un ?
Je penses avoir compris, désolé ma question était bête un+1 quand n = 0 sert à calculer u1
U0 = 1/10 + 3/10i c'est ça ?
Bonsoir notre professeur a mis le devoir en suspend un moment parce que l'on avait pas vu certaines notions, me revoilà
Du coup
Initialisation :
U0 = 1/10 + 3/10i
(1/10+3/10i) * 3^0 x i^0 = 1/10 + 3/10i
Donc p(0) est vraie
Pour l'hérédité je dois commencer par:
Un = zn + 1/10 + 3/10i
.
.
.
Et finir par un = ( 1/10 + 3/10i) * 3^n * i^n
Sauf que j'ai l'habitude de faire avec du un+1 donc je vois pas du tout comment faire
Je penses avoir réussi.
Un= (1/10 + 3/10i) * 3^n * i ^n HR
À démontrer : formule vrai au Rang n+1
Un+1 = (1/10 + 3/10i) * 3^n+1 * i ^n+1
Un+1= 3i * un
= 3i * (1/10 + 3/10i) * 3^n * i ^n
= (1/10 + 3/10i) * (3^n *3) ( i * i ^n)
= (1/10 + 3/10i) * 3^n+1 * i ^n+1
Conclusion : la proposition a été initialisé donc est héréditaire à partir de ce Rang
lim zn quand zn tends vers + l'infini = + l'infini et lim -1/10 quand -1/10 tends vers + l'infini = -1/10
Donc lim (amn) quand amn tends vers + l'infini = + l'infini ?
AMn = | zn-((1+3i)/10| donc le module
non que vaut | i ^ n| ? ça ne tend pas vers l'infini. que vaut |i| ?
je ne sais pas ce que tu entend par modulo
Moi je lis qu'on te demande de calculer l'argument de (zn+2 -a) / (zn - a)
je ne comprends pas ta question.
on te demande l'argument de l'argument de (zn+2 -a) / (zn - a) donc de un+2/un
tu as l'expression de un en fonction de n donc calcule ce que ça donne ?
Arg (( 1/10 + 3/10i) * 3^n+2 * i^n +2) /( 1/10 + 3/10i) * 3^n * i^n )
Où je dois utiliser l'autre un ?
Arg ( zn +2 + 1/10 + 3/10i ) / ( zn + 1/10 + 3/10i)
?
J'ai essayé de regarder des vidéos pour savoir comment trouver un argument mais on me donne que des choses graphiques
l'affixe de A c'est 1/10 + 3/10i, pourquoi dis-tu qu'il est proche de 0 ?? et puis en quoi cela a de l'intérêt ?
Je vois ducoup notre justification sera
(Verteur Mn(zn)A; Mnn+2(zn+2)A) = pi
Par conséquent les points sont alignés ?
Pour la dernière question il faut refaire la même démarche et trouver l'argument pour en déduire que les droites ( Amn ) et (Amn+1 ) sont perpendiculaires ?
La justification pour la 3) b ) est elle bonne ?
J'ai essayer la dernière ça m'a donné ça :
On a (zn+1 -a) / (zn - a)
soit un+1/un = 1/10 + 3/10i) * 3^n+1* i^n +1) /( 1/10 + 3/10i) * 3^n * i^n )
= 3i
Et par suite, Arg (zn+1 -a) / (zn - a) = pi
On déduit que ( vecteur AMn+1; vecteur Amn)= pi
C'est à dire que les droites (AMn+1) et ( AMn ) sont perpendiculaires
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