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Niveau école ingénieur
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Nombre complexe - Translation de repère

Posté par
graindri
03-05-16 à 14:24

Bonjour à tous,

Je suis actuellement confronter à un problème que je n'arrive pas à résoudre.
Je précise que ce n'est pas un devoir que je dois faire en cours.

Je possède un nombre complexe (ex a = 3+3i) dans le repère cartésien. Ensuite un second nombre complexe (ex b = 4+3.5i).
Je décide ensuite, d'établir un "périmètre" de rayon R  ayant pour centre 3+3i.
Le nombre 4+3.5i se trouve donc à l'extérieur du cercle de centre 3+3i.

Par la suite, je désire avoir les coordonnées du point c situé sur le cercle de centre a et de rayon r mais ayant le même argument que le nombre b.

Illustration ci-joint.

En outre, si a était le centre du repère il aurait été simple de trouver les coordonnées du nouveau point : xc  = R*cos(arg(a)) et yc = R*sin(arg(a)).

Cependant je dois les trouver avec comme repère le repère cartésien dont le point a n'est pas le centre.

Je ne sais pas si je me suis bien fais comprendre

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.

Nombre complexe - Translation de repère

Posté par
graindri
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 14:30

Autre illustration (désolé pour la précision...)

Nombre complexe - Translation de repère

Posté par
carpediem
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:05

salut

si O est l'origine du repère cartésien alors  \vec {OB} = \vec {OA} + \vec {AB}

quant au point C il s'obtient aisément comme \vec {AC} = \dfrac R {AB} \vec {AB}

....

Posté par
Razes
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:08

Le point c doit être sur la même demie droite [O, b[ car b et c ont le même argument.

Vous avez deux points de rencontre entre le cercle et la demi droite  [O, b[  qui sont des solutions possibles.

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:08

Bonjour

tu veux que c ait le même argument que b ? ce n'est pas ce qui apparaît sur tes figures, pourtant ?

Posté par
graindri
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:12

Merci carpediem pour ta réponse.
Cependant mon but est d'obtenir les coordonnées du point C, comment les avoir ?
Même avec la relation vectorielle que tu as écrite, comment avoir ses coordonnées sachant que seules ces informations sont connues :
coordonnées du point a, b, et le rayon R.

Posté par
graindri
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:13

Bonjour lafol. Oui C doit se situer sur la droite (AB). Cependant je dois trouver ses coordonnées.

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:17

\vec{AC} a pour coordonnées (x_C-x_A, y_C-y_A)
idem pour \vec{AB} en remplaçant tous les C par des B
et AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+( y_B-y_A)^2}

tu es vraiment en master rassure moi : pas de maths ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:18

mais tu n'auras pas le même argument pour B et pour C, tu en es conscient ?

Posté par
fm_31
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:28

Bonjour ,

sans être sur d'avoir compris ton énoncé , il y aurait 2 repères (un de centre  a  et un de centre disons  O)
Les coordonnées de  c  dans le repère  O  sont celles de c dans le repère a  (que tu as données) plus les coordonnées de a dans le repère   O .

Cordialement

Posté par
Razes
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:30

Le point c que vous proposez ainsi que carpediem n'a pas le même argument que le point b comme demandé dans l'énoncé.

Le point c \in [O, B]

En fonction de la valeur de r vous avez pour c soit :
- 0 point solution dans le cas où OB ne touche pas le cercle
- 1 point solution dans le cas où OB est tangent au cercle
- 2 ponts solutions dans les autres cas

Posté par
carpediem
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:32

si C appartient à la droite (AB) alors :

carpediem @ 03-05-2016 à 16:05

salut

si O est l'origine du repère cartésien alors  \vec {OB} = \vec {OA} + \vec {AB}

quant au point C il s'obtient aisément comme \vec {AC} = \dfrac R {AB} \vec {AB}

....


donc \vec {OC} = \vec {OA} + \vec {AC} = \vec {OA} + \dfrac R {AB} \vec {AB}

donc avec des complexes : c = a + \dfrac R {|b - a|}(b - a)

Posté par
graindri
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:32

Merci lafol. En effet comme à dit fm_31, lorsque je parlais d'argument je parlais dans le repère de centre A.

Oui lafol plus de maths depuis 2 ans malheureusement..

Merci pour vos réponses je reprendrai mon problème demain et vous tiendrai au courant.

Posté par
Razes
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:45

Le résultat proposé par carpediem  03-05-16 à 16:32 est bon. Il reste un détail et de taille, c'est que Arg(c)=Arg(b), ceci nous donne une contrainte sur R ce qui entraine l'étude des trois cas que j'avais signalé.

Posté par
Razes
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:47

ceci nous donne une contrainte sur R ce qui entraine l'étude des trois cas que j'avais signalé.

Posté par
graindri
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:52

C'est aussi ce qui m'étais venu  l'esprit Razes, qu'il fallait étudier plusieurs cas.

Posté par
graindri
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 16:56

Cependant pour qu'il y ait le même argument on ne prendra pas le cas où il y ait 2 points solutions.
Aussi on considère OB touchera le cercle.
Le point c est quelconque sur le cercle.

Posté par
Razes
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 17:00

Effectivement, vous avez:

c = a + \dfrac R {|b - a|}(b - a)    "carpediem "
Arg(c)=Arg(b)

Prenez quelques valeurs de R et testez.

Posté par
Razes
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 17:10

Excusez moi, je me suis trompé de jugement.

La relation  \vec {AC} = \dfrac R {AB} \vec {AB} n'est pas justifié car C ne fait  pas partie de [AB] mais plutôt de  [OB] si solution il y a.

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 17:12

Razes : l'argument c'était une erreur ....

graindri @ 03-05-2016 à 16:32

Merci lafol. En effet comme à dit fm_31, lorsque je parlais d'argument je parlais dans le repère de centre A.

Oui lafol plus de maths depuis 2 ans malheureusement..

Merci pour vos réponses je reprendrai mon problème demain et vous tiendrai au courant.

Posté par
Razes
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 17:24

@lafol: merci, je n'avais pas vu. Du coup nous avons

c = a + \dfrac R {|b - a|}(b - a)    "carpediem

Et c'est l'unique solution.

Posté par
flight
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 17:46

salut

je trouve ( à verifier )

Xc = 3 + 2.R/5

Yc = 3 + R/5

pour que  Le nombre 4+3.5i se trouve  à l'extérieur du cercle de centre 3+3i.

il faut que  Xc < 4   et Yc < 3,5

on a donc    3 + 2.R/5 < 4    donne  R <5/2

et  3 + R/5 < 3,5   donne R <5/2  ... donc la meme

chose

Posté par
carpediem
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 18:05

Razes @ 03-05-2016 à 16:45

Le résultat proposé par carpediem  03-05-16 à 16:32 est bon. Il reste un détail et de taille, c'est que Arg(c)=Arg(b), ceci nous donne une contrainte sur R ce qui entraine l'étude des trois cas que j'avais signalé.


c'est incompatible ... sauf si A, B et C sont alignés ....

donc les deux hypothèses conduisent à un énoncé faux ....

Posté par
graindri
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 18:08

Carpediem, justement a, b et c sont aligné. Peu importe le point c et le point b, les 3 points doivent être alignés.

Posté par
carpediem
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 18:37

oui mais ton énoncé devient foireux lorsque tu imposes arg (c) = arg (b)

Citation :
Par la suite, je désire avoir les coordonnées du point c situé sur le cercle de centre a et de rayon r mais ayant le même argument que le nombre b.

ou alors c'est une autre question (plus difficile) mais qui ne correspond pas à tes figures ...

Posté par
Razes
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 18:44

@Carpediem
J'ai eu le même réflexe concernant arg (c) = arg (b)  mais lafol m'a rappelé la réponse de graindri à 03-05-16 à 16:32. Donc ne pas tenir compte de cette équation.

De ce fait la solution est ce que tu as proposé : c = a + \dfrac R {|b - a|}(b - a)  

Posté par
carpediem
re : Nombre complexe - Translation de repère 03-05-16 à 18:57



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