Salut Ramanujan

Petit coup de pouce :



Tu as donc déjà une première classe d'équivalence Constituée par la diagonale de ² : ça, c'est le cas x = y.

Et sinon, il te va falloir résoudre une équation du second degré.

Bonjour !

Citation :
J'ai écrit la définition :

Bonjour,
@jsvdb, je ne comprends pas ceci :

Citation :
une première classe d'équivalence Constituée par la diagonale de ²

Bonjour Sylvieg
C'est une réponse en style « 3h du matin » : il est sous entendu que je parle en terme de graphe de la relation et pas en terme de classe.
Mais oui, les classes n'ont pas plus de trois éléments.
🙂

Style « 3h du matin «  = le premier truc à peu près cohérent qui passe par le premier neurone encore en activité 😅

D'accord,
Le graphe de la relation est la réunion de la droite d'équation y = x avec une ellipse de centre O et d'axes perpendiculaires et ' .
Les droites d'équations x=-2 et x=2 sont tangentes à l'ellipse.

Oui, ça doit être un truc dans ce goût là puisque je parlais de résoudre des équations du second degré ...

salut, avec Xcas pour Firefox
Reduire (appuyer sur - ) au maximum le nombre de lignes de la console pour voir la figure quand on bouge le curseur.

Merci pour vos indications. J'ai choisi celle de jsvdb pour utiliser une formule au début de mon livre fort utile :



J'ai choisi de traiter le cas à part.

Il y a 3 éléments dans la classe.

est un élément de

Si alors

Résolvons :

et cette équation n'admet pas de solution dans

Finalement si , la classe possède un seul élément qui est :

Est-ce juste ?

C'est faux.

Une remarque d'abord :
Pour a³-b³ inutile de chercher des n et des , c'est à connaitre comme a²-b² .

Sinon :
cl(x) = {x} { y, y² + xy + x² - 3 = 0 }

Puis une erreur de signe dans .

Voici une capture du graphe de la relation, cadeau d'alb12
L'ellipse a pour équation y² + xy + x² - 3 = 0 .
Les graduations sont de 2 sur l'axe des abscisses et de 1 sur celui des ordonnées.
Pour y lire cl(a) , tracer la droite d'équation x=a . Elle coupe le graphe en des points dont les ordonnées y vérifient a y .

Jolie figure !

Alors je corrige mes erreurs. Le discriminant vaut :

On a : (E)

1er cas :  
L'équation (E) ne possède pas de solution dans donc :
Dans ce cas,

2ème cas :  
L'équation (E)  possède une solution double dans donc :
Comme ,

3ème cas :  
L'équation (E)  possède 2 racines distinctes.

Et là je bloque, ça me donne des racines compliquées

1) les racines sont pas difficiles à calculer
2) L'énoncé te demande de les calculer ou alors ils te demandent juste le nombre d'éléments? :/

Pour le second cas, remplace x par 2 puis par -2. Et essaye de lire les résultats sur la figure.

Pour le 3ème cas, il suffit de vérifier que x n'est pas solution de (E) pour affirmer que cl(x) est de cardinal 3.
On le voit aussi sur la figure avec une droite verticale entre les 2 verticales bleues.

Attention aux graduations, les droites verticales bleues ont pour équations x = 2 et x = -2 .

Oups, ceci n'est pas toujours vrai :
" il suffit de vérifier que x n'est pas solution de (E)"
C'est la figure qui me met le doigt dessus.

Ce que je trouve graphiquement correspond à mon résultat pour le cas n°2.

Il y a un problème pour le cardinal vaut 2 et pas 3 et ça je ne comprends pas pourquoi.

Car j'ai exhibé et le même élément est présent 2 fois.

Il a un piège je pense dans le cas n°3.

Dans le cas n°3 je trouve :

et

On a :

Il faut aussi vérifier c'est quand que ?

Ce n'est pas un piège.
Pour x = 1 l'équation de degré 2 s'écrit y² + y - 2 = 0 .
Et 1 est une des solutions.
Sur la figure, la droite d'équation x = 1 a 2 points communs avec l'ellipse :
A(1,1) et B(1,-2) .
Le point A est aussi sur la droite d'équation y=x .

Même genre avec x=-1 .

Je trouve aussi :



Je sais que c'est faux mais je ne comprends pas où est mon erreur

Pour déterminer si un réel est solution d'une équation, inutile de la résoudre !
Par exemple 5 est solution de x³ - 7x² + 3x +35 = 0
car 5³ - 725 + 15 + 35 = 0 .

Ok merci.

est solution de (E) si et seulement si si et seulement si si et seulement si

Donc dans le cas n°3 :

Si   alors

Si   alors

@Ramanujan
tu n'as pas reussi à ouvrir mon lien ?

J'avais pas vu le lien, je viens d'y aller mais il n'y a rien qui apparaît

J'ai réussi à la voir mais je ne comprends pas comment marche le curseur ni ou le trouver.

la premiere fois Xcas est charge dans le cache du navigateur, attendre 1 ou 2 minutes.
Firefox est recommande.

le curseur est a dans la premiere ligne

il me semble que c'est clair.

Merci alb12
Moi non plus je ne voyais pas ce curseur. Il faut faire l'ascenseur à droite du graphique pour qu'il apparaisse.
Le graphique avec a = 1,5 :

Je n'ai pas les graduations comme toi. Mais ce n'est pas grave

merci pour le renseignement concernant le curseur non visible

je pense que le lien est quasi indestructible, il restera visible un certain temps !

Ok merci votre logiciel peut-il afficher les coordonnées des points d'intersection entre l'ellipse et la droite ?

Bonsoir
autre manière de voir les choses :
x est en relation avec y si et seulement si x^3-3x = y^3-3y
autrement dit si et seulement si x et y ont la même image par la fonction f définie par f(x) = x^3-3x

premier avantage : la phrase avec "la même que" est quasiment la signature d'une relation d'équivalence
deuxième avantage : un bête tableau de variations de f permet de déterminer le nombre d'éléments de chaque classe, en regardant les intersections de la courbe de f avec des parallèles à l'axe des x

@Lafol

Je n'ai pas compris comment trouver les qui vérifient pour fixé en utilisant le tableau de variation.
Pourquoi utiliser les parallèles à l'axe des ?

tu pars d'un x donné, tu montes (ou descends) sur la courbe trouver son image, puis tu pars à l'horizontale voir si d'autres éléments ont la même image que lui : ils seront dans sa classe

par exemple, tu vois que -2 a la même image que 1, et qu'ils sont les seuls à avoir cette image là : {-2;1} est une classe qui contient deux éléments. Idem pour {-1; 2}
tu vois que si x < -2, il est le seul à avoir son image
si x est strictement entre -2 et -1, il y a deux autres nombres qui ont la même image (et tu peux préciser qu'un des deux est entre -1 et 1 et l'autre entre 1 et 2, du coup pas besoin de recommencer sur ces intervalles)
et que si x est strictement supérieur à 2, il est tout seul dans sa classe

@Lafol
Ok j'ai compris merci.

@alb
J'ai vu s'afficher les coordonnées des points d'intersection en déroulant tout en bas.

oui j'ai fait:
G:=implicitplot(x^3-y^3-3*(x-y),display=hidden_name)
sol:=inter(G,droite(x=a)):;
coordonnees(sol)

cette derniere commande renvoie le cas general:



ensuite on suppose que l'utilisateur saura etudier les cas particuliers

Je profite de ce beau graphique de la relation d'équivalence pour rappeler les propriétés du graphe G d'une relation d'équivalence :



La réflexivité de la relation se traduit par le fait que la diagonale de doit être incluse dans  G, autrement dit G contient les éléments de la forme (x,x) pour tout x de E.

La symétrie se traduit par le fait que , autrement dit

La transitivité se traduit par le fait que , autrement dit,

Bonjour,
@lafol,
Ta méthode est beaucoup plus simple

@jsvdb,
Je ne vois pas comment "lire" la transitivité.

Bonjour,

Un nouveau dessin ?

Bonjour lake
L'objectif de ton dessin est-il d'y "lire" la transitivité ?

Bonjour Sylvieg,

Non, non, pas du tout; juste illustrer les deux méthodes et le lien entre elles

Je ne suis pas d'accord. On peut se contenter du tableau de variation de la fonction f pour déterminer avec rigueur le nombre de solutions de f(x) = f(a) .

Merci jsvdb pour ces explications.
Mais je ne vois toujours pas comment la transitivité se traduit sur la figure avec l'ellipse

Bonjour
mêmes interrogations que Sylvieg ....