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Niveau Licence Maths 1e ann
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nombre de partition d un entier

Posté par
Eipihc
12-05-17 à 15:59

Salut bon ce topic est un peu particulier n'ayant pas trouver de "sous-forum pour recherche mathématique" je m'adresse ici. Voilà je n'ai pas énormément de connaissances (le but étant de voir maintenant et plus tard en me relisant comment je procède en l'abscence de connaissances) et c''est pourquoi j 'ai commencé des recherches en maths depuis...4ans je dirais, sur des problèmes que je me pose et parfois que je lis.
C'est ce dernier point qui m'amène, j'ai un jour entendu parler des partitions d'un entier et j'ai voulu faires des recherches dessus.

Le nombre de partition d'un entier que je note p(n) où n un l'entier positif, est le nombre de manière différentes de décomposer un entier comme somme d'entiers positifs ou nul(on ne tient pas compte de l'ordre).
Exemple:
p(4)=5 car
4=4+0
4=3+1
4=2+2
4=2+1+1
4=1+1+1+1
Voici toutes les partitions de 4
Mon but "ultime" était de trouver une fonction qui donne le nombre de partition d'un
entier en ne connaissant que n.
Notations (non-officiel) que j'utilise :
p(x)_{k}=p(n-k)

Ainsi j'ai trouvé ces deux formules :
-si n est pairp(n)=\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}{(p(n-k)-\sum_{s=k+1}^{n-k}{p(n-k)}_{s}})+\sum_{t=\frac{n}{2}}^{n}{p(n-t)}
-si n impair p(n)=\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}}{(p(n-k)-\sum_{s=k+1}^{n-k}{p(n-k)}_{s}})+\sum_{t=\frac{n+1}{2}}^{n}{p(n-t)}

Ce ne sont qu'à peine des formules de récurrence mais pour y voir plus clair j'aimerais savoir si je peux simplifier c'est expressions, voilà ma demande

***forum modifié***

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 12-05-17 à 17:25

si je dois le transférer en supérieur merci de me le signaler et je ferais de même avec un modo (je ne sais pas trop à quel "niveau" cela correspond car cela ne requière que des connaissances minimes à la portée dès la 1ère)

Posté par
carpediem
re : nombre de partition d un entier 12-05-17 à 17:38

salut

en tapant ""partition d'un entier"" tu trouveras plein de choses ...

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 12-05-17 à 17:42

ah oui c'est certain je sais que S. Ramanujan et hardy en ont donné une formule qui plus tard a été réitéré en utilisant une dévellopement asymptotique mais ici, ce que je voudrais est uniqement simplifier ces formules comme on simplifie "(5x)/(10x)=0.5"

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 12-05-17 à 20:59

je n'aime pas faire ça mais bon si un modo vois ce topic, svp transférer le en supérieur, c'est peu-être un endroit plus indiqué

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 12-05-17 à 20:59

oups transférEZ

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 12-05-17 à 23:32

....le seul objectif actuel est de simplifier les deux formules que j'ai trouvées (cela clarifierai les choses et permettrai peut-être de passer d'une formule de récurrence à une formule général, qui sait)

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 13-05-17 à 10:17

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 13-05-17 à 15:06

up

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 13-05-17 à 22:55

re up
je suis patient

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 14-05-17 à 14:28

up

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 14-05-17 à 20:57

up

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 14-05-17 à 21:21

d'ailleurs petite erreur dans ma notation p(x)_{k}=p(x-k)

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 14-05-17 à 21:22

hum le latex a fait une chose étrange p(x)_{k}=p(x-k)

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 15-05-17 à 17:57

Posté par
carpediem
re : nombre de partition d un entier 15-05-17 à 18:06

Eipihc @ 14-05-2017 à 21:22

hum le latex a fait une chose étrange p(x)_{k}=p(x-k)
je ne vois pas l'intérêt de cette notation ...

on réindice les sommes éventuellement et on regarde pour voir si ça se simplifie ...

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 15-05-17 à 18:14

et bien en fait k est un rang précis lorsque j'ai établit des listes de partitions ex:
dans les partitions de 10:
7+3
7+2+1
7+1+1+1
revient à écrire p(10)_{7} car 7 est le plus grand nombre à chaque fois

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 15-05-17 à 18:17

l'intérêt de cette notation....raccourcir la taille des formules sinon....
mais ce que j'espèrais est qu'il y ai une manière, une formule ou une propriété sur les sommes qui me permettrait  de simplifier les deux "paquets", c'est tout

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 15-05-17 à 18:19

par contre je me demande ai-ce une formule de récurrence? Je dirais que cela exploite d'anciens résultats pour en créer de nouveaux, cependant cela ne donne pas n+1 en fonction de n

Posté par
Camélia Correcteur
re : nombre de partition d un entier 16-05-17 à 15:56

Bonjour

Cherche le "nombre de Bell" sur wikipedia.

Sur l'ile, avec une recherche "nombre de partitions" on trouve une foule d'exos, avec des indications. En particulier, tu as celui-ci:
Problème partitions et ensembles

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 16-05-17 à 21:20

Les deux traites de partitions d'ensemble mais le nombre de Bell présente en effet des similitudes avec ce que je recherche donc un grand merci à toit ( et à carpediem ). Cependant en allant sur wikipédia, il y a une formule où je ne vois pas comment ils l'ont obtenu : Les nombres de Bell "satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier quelconque alors B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}   mod p ". Si quelqu'un sait comment l'a trouver / démontrer svp

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 16-05-17 à 21:21

oups d'ensembleS et toi sans t

Posté par
Eipihc
re : nombre de partition d un entier 16-05-17 à 21:24

et promis c'est la dernière questions sur ce sujet

Posté par
jandri Correcteur
re : nombre de partition d un entier 17-05-17 à 10:16

Bonjour Camélia,

En math le mot partition a deux sens:
Partition d'un ensemble
Partition d'un entier .

Les nombres de Bell dénombrent les partitions d'un ensemble à n éléments.
Eipihc semblait s'intéresser aux partitions d'un entier avant de poser une question relative aux nombres de Bell.

Pour démontrer la congruence B_{n+p}\equiv B_{n}+B_{n+1}   \pmod p, avec p premier, on distingue 3 cas dans les partitions de [[1,n+p]]:
celles dont l'une des parties a pour sous-ensemble \{1,2,...,p\}, elles sont au nombre de B_{n+1}
celles contenant les singletons \{1\},...,\{p\}, elles sont au nombre de B_n
et les autres dont le nombre est un multiple de p, ce qu'on peut montrer en faisant une permutation circulaire sur (1,2,...,p).

Posté par
Camélia Correcteur
re : nombre de partition d un entier 17-05-17 à 16:16

Bonjour Jandri, ça fait longtemps... Je suis arrivée très tard sur ce topic, je n'ai pas lu assez attentivement le début de l'histoire.



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