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Niveau Licence Maths 1e ann
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Nombres Complexe

Posté par
Damien13008
01-10-10 à 18:16

Salut à tous j'ai un exercice à faire, et j'ai du mal à le résoudre, donc le voici :

Soit m à , trouver une condition nécessaire et suffisante sur m pour que :

a) (3 - i)m

b) (3 + i)m i

J'aurai tendance à dire pour la a), il faut que m soit impair et pour la b) pair ? De plus il faut le démontrer...

Posté par
carpediem
re : Nombres Complexe 01-10-10 à 18:26

salut

pour m>0 utilise le binôme de Newton et simplifie les puissances de i pour conclure

pour m<0 calcule d'abord l'inverse puis recommence comme avant


autre méthode : utilise la forme exponentielle....

on reconnait trivialement....

Posté par
Damien13008
re : Nombres Complexe 02-10-10 à 20:33

Pour la a) :

Soit :

a = 3
b = -i

Nombres Complexe

Or :

C(n, 0) = C(n, n)
C(n, k) = C(n, n-k)

On factorise :

= C(n,0)(a^n + b^n) + C(n,1)(a^(n-1)*b + a*b^(n-1) + ... (1)

= 2^n * (-1)^(-n/6) (Fais avec la calculatrice). (2)

Le problème est que je ne sais pas comment faire pour arriver de (1) à (2) ?

Sinon, donc pour que l'équation a) € R il faut que -6 n 6 :

Car on sait que 2^n € Z puisque n € Z, de plus -1 = e^i*, donc (-1)^-n/6 = (e^i*)^-n/6 = e^i*-n/6 (3)

(4) On peut en déduire que pour que e^i*-n/6 € R, il faut que -n/6 € Z donc que n € 6*a avec a appartenant à N.

Encore un autre problème entre (3) et (4), il faut que dans mon devoir il y ait de la régularité ou je ne sais pas quoi ect... Car le "on peut en déduire", je sais que mon professeur va me dire, montre moi ta déduction ect...

Merci.

Edit Coll : image placée sur le serveur de l' Merci d'en faire autant la prochaine fois !     

Posté par
Damien13008
re : Nombres Complexe 03-10-10 à 18:12

Help S.V.P.

Posté par
carpediem
re : Nombres Complexe 03-10-10 à 19:53

utilise la forme exponentielle !!

Posté par
carpediem
re : Nombres Complexe 03-10-10 à 19:54

3-i=2 * (3-i)/2 et on reconnait des valeurs particulières !!!

Posté par
Damien13008
re : Nombres Complexe 03-10-10 à 22:37

Ça nous fait donc :

(3 - i)m = (2 [cos /6 - i sin /6])m = (2 [cos -/6 + i sin -/6])m = 2^m * [cos -/6 + i sin -/6]m

D'après De Moivre :

2^m * [cos -/6 + i sin -/6]m  = 2^m * [cos -m/6 + i sin -m/6] = 2^m * e^-i*m/6 = 2^m * (e^i)-m/6 = 2^m * (-1)^-m/6.

Merci.

Puis pour la b) c'est à peu près la même chose...

Encore Merci. Sinon par curiosité comme vous aurez fait avec le binôme de Newton ?

Posté par
Damien13008
re : Nombres Complexe 04-10-10 à 22:06

Sinon, c'est quoi l'ensemble i ?

Posté par
Damien13008
re : Nombres Complexe 04-10-10 à 22:39

C'est urgence S.V.P. Merci.

Posté par
carpediem
re : Nombres Complexe 05-10-10 à 16:52

utilise l'exponenielle complexe !!!!!!

Posté par
carpediem
re : Nombres Complexe 05-10-10 à 16:53

iR est l'ensembre des imaginaires purs : z=0+iy

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombres Complexe 05-10-10 à 16:54

iIR, c'est l'ensemble des ib où b est réel : l'ensemble des imaginaires purs, si tu préfères

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombres Complexe 05-10-10 à 16:55

et pour résoudre ton exercice, la caractérisation des réels et des imaginaires purs par leur argument est le plus efficace ici ....

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombres Complexe 05-10-10 à 16:56

j'ai oublié de saluer tout le monde
je le fais donc maintenant

Posté par
carpediem
re : Nombres Complexe 05-10-10 à 16:57

bonjour lafol

tu es pardonné(e ?) mais c'est bein parce que c'est toi !!

Posté par
Damien13008
re : Nombres Complexe 06-10-10 à 19:23

Merci.

@ Carpediem OUI !!! J'AVAIS DEJA FINIS L'EXERCICE, JE VOULAIS SEULEMENT SAVOIR ce que c'était iR mais c'est bon lol... C'était tout simple...

Encore Merci pour vos réponses.

Posté par
carpediem
re : Nombres Complexe 06-10-10 à 20:09

de rien



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