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Niveau Maths sup
nombres complexes
Posté par mathilde
bonjour à tous, voila j'ai un petit problème avec un exercice, je pense que quelque chose m'échappe.
voici l'énoncé :
le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( o, u , v )
on appelle A les points d'affixes respectives, -1 et 1
soit M un point d'affixe zm différente de 0
et N le point d'affixe 1/ zm
j'ai démontrer dans les première questions que AN = AM/OM
ensuite de la suite de l'exo , on considère que le point M appartient au cercle de centre B et de rayon
2
ensuite j'ai montré que [quote]
voici l'énoncé :
le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( o, u , v )
on appelle A les points d'affixes respectives, -1 et 1
soit M un point d'affixe zm différente de 0
et N le point d'affixe 1/ zm
j'ai démontrer dans les première questions que AN = AM/OM
ensuite de la suite de l'exo , on considère que le point M appartient au cercle de centre B et de rayon
2
ensuite j'ai montré que [quote]
x2+y2= 2x+1
maintenant la question est :
prouver que (module (zm+1))2 = 2 (module zm)2
puis d'en déduire le longueur AM en fonction de OM
je pense savoir faire la deuxième partie de la question , mais je bloque sur la première partie, j'ai essayé de plusieurs façons, mais je n'arrive pas alors je m'en remet à vous.
merci d'avance
Bonjour, mathilde.
Si zm=x+iy, on a:
Et tu as montré que, lorsque M est dans le cercle de centre B et de rayon racine de 2, on a:
Donc:
Ce qui est précisément ce que tu cherches à démontrer
merci beaucoup à toi !
je pensais que je n'avais pas le drois d'écrire l'agalité à prouver, donc je n'y arrivais pas .
donc tu penses que l'on peut partir de l'égalité ?
en tout cas merci beaucoup.
bonjour à tous,
voila, on m'a déjà aidé pour une question de cette exercice, mais une autre me bloqu.
je vous redonne l'énnoncé :
bonjour à tous, voila j'ai un petit problème avec un exercice, je pense que quelque chose m'échappe.
voici l'énoncé :
le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( o, u , v )
on appelle A les points d'affixes respectives, -1 et 1
soit M un point d'affixe zm différente de 0
et N le point d'affixe 1/ zm
j'ai démontrer dans les première questions que AN = AM/OM
ensuite de la suite de l'exo , on considère que le point M appartient au cercle de centre B et de rayon2
ensuite j'ai montré que [quote]
voila, on m'a déjà aidé pour une question de cette exercice, mais une autre me bloqu.
je vous redonne l'énnoncé :
bonjour à tous, voila j'ai un petit problème avec un exercice, je pense que quelque chose m'échappe.
voici l'énoncé :
le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( o, u , v )
on appelle A les points d'affixes respectives, -1 et 1
soit M un point d'affixe zm différente de 0
et N le point d'affixe 1/ zm
j'ai démontrer dans les première questions que AN = AM/OM
ensuite de la suite de l'exo , on considère que le point M appartient au cercle de centre B et de rayon
2
ensuite j'ai montré que [quote]
x2+y[/sup]= 2x+1
puis on m'a aidée à prouver prouver que (module (zm+1))2 = 2 (module zm)2
longueur AM en fonction de OM :
AM = OM
2
maintenant je n'arrive pas à démontrer que
1 - (1/zm) = (1/(module(zm))[sup]2)
puis il faut en déduire que les vecteurs NB et AM sont colinéaires, ce qui est simples
mais ensuite je n'arrive pas on plus à indiquer la nature du guadrilatère ANBM .
j'ai essayé de montrer que c'était un quadrilatère, mais sans succès ! d'après les données :s
je m'en remet à vous.
merci d'avance
mathilde
*** message déplacé ***
désolée je viens de vior mes fautes de frappe :
x2+y2 = 2x+1
et
en s'aidant de :
x2+y2 = 2x+1
démontrer que
1- ( 1/zm) = ( 1/ ((module zm)2) (zm+1)
*** message déplacé ***
Bonjour
Peut être cette figure pourra t'aider.
ANBM est semble t il un trapèze.Il faut juste montrer que les droites (AM) et (NB) sont parallèles. On peut le faire de plusieurs façons, entre autre avec les vecteurs colinéaires et c'est bien ce qu'on demande.
Citation :
j'ai essayé de montrer que c'était un quadrilatère
j'ai essayé de montrer que c'était un quadrilatère
4 points quelconques déterminent un quadrilatère(sauf cas particulier)
*** message déplacé ***
merci bcp !
en effet je me suis trompée, je pensais au début à un parallélogramme (désolée)mais ce fut sans succès.
mais je n'arrive toujours pas à démontrer que:
1- ( 1/zm) = ( 1/ ((module zm)2) (zm+1)
as tu une idée ? :s
mais merci por tout !
mathilde
*** message déplacé ***
Tu peux démontrer que AN = NB, 1/z est un imaginaire pur, 1+1/z et 1-1/z sont conjugués.Et tu utilises la relation entre AN AM et OM pour le coefficient de colinéarité, c'est ce que j'ai fait .
Mais si tu veux reste dans le cadre de l'exo avec les complexes
Tu peux utiliser ZxZbarre = 2Ré(z)+1 en remarquant aussi que 1/z=zbarre//z/^2
En mélangeant bien tu tombes sur l'égalité, ça marche aussi bien et c'est même peut être plus court.
Citation :
1- ( 1/zm) = ( 1/ ((module zm)2) (zm+1)
1- ( 1/zm) = ( 1/ ((module zm)2) (zm+1)
1-1/z est l'affixe de VectNB et z+1 l'affixe de VectAM,1//z/^2 est le coefficient de colinéarité.
Si ça ne va pas n'hésite pas à reposter.
*** message déplacé ***
merci beaucoup cunctator !
'admet tout ce que tu as dis , j'ai essayé le "mélange". pour ce la je suis partie de 1 - (1/z)=1-( zbarre/ /z/^2 )
mais j'arrive à
1- (1/z) = 1 - ((2x+1) / zm) X (1/( /z/^2))
mais à partir de la je bloque :
je pense qu'il faut garder
1/( /z/^2)
mais je n'arrive pas à changer le reste .
peux tu encore m'aider ?
Bonsoir mathilde
Citation :
j'ai essayé le "mélange"
j'ai essayé le "mélange"
Tu n'as pas dû assez agiter!
Dans toute la suite z' est le conjugué de z
1/z = z'/zz' = z'/(/z/)^2 (1)
On remplace (1) dans l'égalité à démontrer
1-z'/(/z/)^2 = (z+1)/(/z)^2
On réduit et on simplifie
/z/^2-z'= z+1
/z/^2 = z'+z+1
Or z'+z = 2Re(z) = 2x et /z/^2 = x^2+y^2
N'est ce point cette égalité que tu as démontrée
Citation :
ensuite j'ai montré que
x2+y2= 2x+1
ensuite j'ai montré que
Citation :
x2+y2= 2x+1
merci beaucoup cunctator !
en frait je cherchais à arriver à :
1 - 1/z = (z+1)//z/^2
puisque c'est une démonstration
mais grâce à toi, j'ai fais ce que tu as fais dans l'autre sens et tout va bien
départ de: x^2 + y^2 = 2x+1
et arrivée à : 1 - 1/z = (z+1)//z/^2
merci beaucoup de ton aide, en fait quand je pars dans une idée, mon défaut est d'y persévérer, alors que c'est parfois bouché !
merci beaucoup
ceci étant fait, malheureusement, j'ai encore une question à te poser :
dans la suite de l'exercice, on me demande de démontrer que les normes des vecteurs NB et AM sont égales ssi /z/ = 1
je pense avoir réussi cela,
on me demande ensuite de préciser quelles alors sont les positions possibles du point M.
je trouve alors :
M (0;1) ou M (0;-1)
mais je justifie en disant que ca ne peut pas être M(1;0) ou M(-1;0) car alors M appartiendrait à (AB), car dans la question précédente, on me demande de montrer que les vcteurs NB et AM sont colinéaires lorsque colinéaires, et lorsque M n'appartient à (AB) de préciser la nature du quadrilatère ( trapèze ).
qu'en penses tu ?
puis on me demande dans ces deux cas de démontrer que le quadrilatère ANBM est un carré.
pour cela je montre que vecteurs AN et MB coliénaires, ( on sait déjà pour NB et AM)
ensuite je veux montrer que leur normes sont égales pour conclure, mais la j'ai un problème :
je trouve :
//NB// = /1+i/
//AM//=/1+i/
or j trouve
//AN// = /-i+1/
//MB// = /-i+1/
mais on sait que /-i/ = /i/
puis je écrire alors que
//AN// = /i+1/
//MB// = /i+1/
????
merci d'avance :s
Bonsoir mathilde
Citation :
j'ai fais ce que tu as fais dans l'autre sens
j'ai fais ce que tu as fais dans l'autre sens
Il peut être dangereux de partir de la conclusion car il faut faire attention mais en procédant par équivalences il n'y a pas de problèmes, le sens n'a pas d'importance.En particulier quand on transforme régulièrement des égalités.
Peux tu préciser ta pensée pour ceci:
Citation :
puisque c'est une démonstration
puisque c'est une démonstration
et ceci:
Citation :
je pensais que je n'avais pas le drois d'écrire l'agalité à prouver
je pensais que je n'avais pas le drois d'écrire l'agalité à prouver
Tu peux partir de ce que tu veux à condition de respecter les règles.
En analysant bien le raisonnement de perroquet, il n'est pas parti de la formule à démontrer pour retrouver ton résultat.
Il a transformé l'expression en une autre totalement identique qui est la même chose que ton résultat, d'où la conclusion.
E1 <==> E2 et Rés ==> E2 donc E1.
La suite
Citation :
M (0;1) ou M (0;-1)
M (0;1) ou M (0;-1)
Comment as tu trouvé?
Car
Citation :
mais je justifie en disant que ca ne peut pas être M(1;0) ou M(-1;0)
mais je justifie en disant que ca ne peut pas être M(1;0) ou M(-1;0)
Non, car ces point ne sont même pas sur le cercle.
Il faut remplacer x^2+y^2 par 1 dans l'équation puis trouver x et 2 valeurs de y correspondantes.
Citation :
et lorsque M n'appartient à (AB)
et lorsque M n'appartient à (AB)
C'était juste pour éviter le cas particulier (trapèze dégénéré)car les points sont alignés.
La suite
Pour démontrer que c'est un carré tu peux dire qu'il est connu de longue date que les 4 points d'affixes 1,-1, i et -i forment un carré.
Sinon comme tu as fait c'est bon car a+bi , a-bi -a+bi et -a-bi ont même module, racine de 2 ici.
Mais attention pour l'instant tu n'as qu'un losange, n'oublie pas l'angle droit.
merci beaucoup cunctator,
en fait je me suis mal expliquée, je suis partie de :
x^2 + y^2 = 2x+1
pour arrivée à :
1- (1/z) = 1 - ((2x+1) / zm) X (1/( /z/^2))
pour ta réponse sur les modules merci beaucoup, j'y ai repensé cette nuit, et en fait ma question étit bête, je vais démontrer pour l'angle droit avec les arguments.
je te tiens au courant.
en tout je te remercie beaucoup de ton aide.
désolée, je viens de me rendre compte que je ne t'ai pas dis comment j'ai démontré que //NB//=//Am// ssi /z/=1
voila
//AM//=//NB// 
NB=AM
/zb-zn/=/z-za/
/1-(1/z)/=/z+1/
1/ /z/^2 = 1
/zm/^2 = 1
/z/ =1
ne sachant démontrer l'angle droit, j'ai montré que les diagonales étaient dans les deux cas perpendiculaires, égales et qu'elles se coupaient en leur milieu