bonjour : )

si on pose z = rexp(iT), z^3 = r^3exp(3iT) = 1 ssi r = 1 et 3T = 2kpi...

ah oui merci du coup mes solutions seront S={1 ; e(²)/3 ; pour k=2,3...}

par contre je trouve plus de 11 solution c normale ?

en fait il n'existe que trois solutions distinctes, {1, exp(2pi/3), exp(4pi/3)}

si tu prends la solution juste après, k = 3, tu retrouves exp(6pi/3) = 1,

donc en fait tu vois que c'est modulo 3...



Pour info :

Racines n-ième de l'unité :
Soit et .
On appelle racine n-ième de l'unité tout complexe vérifiant .
Et pour tout il existe très exactement n racines n-ième de l'unité distinctes deux à deux qu'on note : avec .


Remarques :
1) On parle de racine n-ièmes de l'unité (définies comme étant les ) pour tout uniquement.
Cette écriture n'a pas de sens (elle n'est pas définie) pour n = 0...

2) Pour tout , il existe très exactement n racines n-ièmes de l'unité deux à deux distinctes, il s'agit de l'ensemble : .
Tu peux calculer et voir que si on prend k = n, on retombe sur
si on prend k = n + 1, on retombe sur k = 1,
...
et il s'agit en réalité d'un cycle de longueur n, on peut donc décider (pour donner l'ensemble solution) de prendre les entiers entre 1 et n, ou 0 et n - 1, ou n et 2n - 1 ou... n'importe quel ensemble de n entiers successifs et on aura toutes les solutions distinctes,


...

Résolution de l'équation , et :
Si la solution est unique : .
On suppose , dans ce cas l'équation possède exactement n solutions distinctes.

Preuve :
Comme est non nul on peut l'écrire sous sa forme exponentielle, avec et .
Et alors, en posant on a et pour :
.
Si on note , alors les solutions à l'équation sont les . Et naturellement les sont deux à deux distincts car les le sont.

Bonjour,

Si l'on souhaite en rester strictement à la question posée.
  
La division selon les puissances décroissantes est simple :
  
et  l'absence de termes z ²  dans p₃ nous donne


Alain