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Nombres complexes

Posté par
krichboy
17-01-16 à 21:45

Bonsoir,
je dois résoudre l'équation (z-1)^n=(\bar{z}+1)^n
J'ai effectué le changement de variable pour me ramener à une racine nième de l'unité mais je suis embêté pour exprimer z à cause du conjugué...
Merci d'avance

Posté par
Priam
re : Nombres complexes 17-01-16 à 21:57

Une idée, peut-être :  poser  z = x + iy , puis  u = - 1 + iy .

Posté par
krichboy
re : Nombres complexes 17-01-16 à 22:35

d'accord. Je vais regarder. Merci

Posté par
krichboy
re : Nombres complexes 17-01-16 à 23:13

je trouve \Large x=\frac{u(-1-e^\frac{2ik\pi}{n})}{1-e^\frac{2ik\pi}{n}}
puis après simplification \Large x=\frac{-i.u}{tan(\frac{k\pi}{n})}
mais après je ne vois pas comment trouver la partie réelle et la partie imaginaire de z...

Posté par
veleda
re : Nombres complexes 18-01-16 à 00:17

bonsoir,
si z est solution on doit avoir |z-1|=|\bar z+1|

Posté par
mathamore
re : Nombres complexes 18-01-16 à 04:29

Bonsoir,

C'est quoi k, c'est quoi x, c'est quoi u? Tu es en quelle année pour faire n'importe quoi?
Je ne peux rien faire pour toi!

Posté par
ThierryPoma
re : Nombres complexes 18-01-16 à 08:12

Bonjour,

De mon boulot :

A la suite de Veleda que je salue au passage, si z\in\C\setminus\{-1,\,1\} est solution de l'équation, alors l'on a également (\overline{z}-1)^n=(z+1)^n, de sorte qu'en multipliant membre à membre les deux égalités il vient |z-1|^{2\,n}=|z+1|^{2\,n} ; d'où |z-1|=|z+1|.

Bonne journée !

Posté par
lafol Moderateur
re : Nombres complexes 18-01-16 à 10:48

Bonjour
et donc le point M d'affixe z se trouve sur une médiatrice ....

Posté par
veleda
re : Nombres complexes 18-01-16 à 15:45

z solution=>z imagimaire pur  
il faut étudier les cas n pair et n impair

Posté par
carpediem
re : Nombres complexes 18-01-16 à 17:09

krichboy @ 17-01-2016 à 23:13

je trouve \Large x=\frac{u(-1-e^\frac{2ik\pi}{n})}{1-e^\frac{2ik\pi}{n}}
puis après simplification \Large x=\frac{-i.u}{tan(\frac{k\pi}{n})}
mais après je ne vois pas comment trouver la partie réelle et la partie imaginaire de z...


salut

ily a de l'idée ... mais l'ensemble manque de rigueur ... d'où la remarque de mathamore ....


1/ justifier que -1 n'est pas solution ...

2/ poser Z = \frac {z - 1}{\bar z + 1} et montrer que l'équation est équivalente à Z^n = 1

3/ résoudre cette équation

4/ un peu de sérieux : quelles sont les parties réelles et imaginaires du complexes ib ?


avec un peu de finesse :: sont w une racine n-ième de l'unité

alors (z - 1)^n =^(\bar z + 1)^n <=> (z - 1)^n = w^n(\bar z + 1)^n <=> z - 1 = w(\bar z + 1) ...

Posté par
lake
re : Nombres complexes 19-01-16 à 10:06

Bonjour,

Une  fois que l' on a prouvé (hormis pour le cas n=0) que z est nécessairement un imaginaire pur, la solution tient en une (petite) ligne (voir veleda à 15h45)

Posté par
mathamore
re : Nombres complexes 19-01-16 à 11:02

Salut carpe diem,

Quand tu dis que ça manque de rigueur, tu me fais rire!



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