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Niveau Licence Maths 1e ann
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Nombres complexes

Posté par
fanfan56 31-10-16 à 16:10

Bonjour,

Voici une question pour mon fils.

Voici l'énoncé du sujet :

On considère l'équation z5 = 1

1. Donner les solutions sous la forme ei, > 0, [0, 2]

Ici, je trouve : S = { 1 ; e2i/5 ; e4i/5 ; e6i/5 ; e8i/5}

2. montrer que les solutions non réelles de cette équation vérifient :

1 + z + z2 + z3 + z4 = 0

A partir de là, je n'ai aucune idée de ce qu'il faut faire.

Posté par
ThierryPomare : Nombres complexes 31-10-16 à 16:13

Par solutions non réelles, l'on entend celles qui sont distinctes de 1 nécessairement, de sorte que

1+z+z^2+z^3+z^4=\dfrac{1-z^5}{1-z}

Le reste est trivial !

Posté par
fanfan56re : Nombres complexes 31-10-16 à 16:23

Tout d'abord merci de votre aide.

Je ne comprends pas d'où sors la fraction \frac{1-z^{5}}{1-z} ?

Et quand on parle de z, de quelle solution est-il question ?

Posté par
ThierryPomare : Nombres complexes 31-10-16 à 16:25

Et si j'écris 1+q+q^2+q^3+q^4, cela te fait-il penser à quelque chose ?

Les solutions du premier point...

Posté par
ThierryPomare : Nombres complexes 31-10-16 à 16:30

Sinon, pour t'en souvenir :

Posons S=1+z+z^2+z^3+z^4. Alors,

z\,S=z+z^2+z^3+z^4+z^5

de sorte que

(1-z)\,S=S-z\,S=(1+z+z^2+z^3+z^4)-(z+z^2+z^3+z^4+z^5)=\cdots

Posté par
fanfan56re : Nombres complexes 31-10-16 à 16:31

Non ça ne me dit rien du tout...

Donc z = e2i/5 et z2 =  e4i/5 etc. ?

Posté par
ThierryPomare : Nombres complexes 31-10-16 à 16:33

Suite à ton message du 31-10-16 à 16:31, Oui !

Ne pas oublier que z^0=1.

Et la somme des termes d'une suite géométrique, cela ne te dit vraiment rien du tout ?

Posté par
fanfan56re : Nombres complexes 31-10-16 à 16:41

Après avoir fait quelques recherches sur internet, j'ai retrouvé votre formule, et elle n'est plus au programme depuis 2012, c'est peut-être pour ça.

Mon prof nous a aussi envoyer un message d'aide, expliquant qu'il faudrait regrouper les termes par deux pour faire apparaître des cosinus, comme lorsque l'on linéarise, en remarquant que e8i/5 = e-2i/5.

Mais je ne sais pas comment en arriver là.

Posté par
fanfan56re : Nombres complexes 01-11-16 à 09:26

????

Posté par
carpediemre : Nombres complexes 01-11-16 à 09:38

salut

Citation :
Après avoir fait quelques recherches sur internet, j'ai retrouvé votre formule, et elle n'est plus au programme depuis 2012, c'est peut-être pour ça.
elle est au programme au lycée depuis ... toujours !!!

Citation :
Mon prof nous a aussi envoyer un message d'aide, expliquant qu'il faudrait regrouper les termes par deux pour faire apparaître des cosinus, comme lorsque l'on linéarise, en remarquant que e8i/5 = e-2i/5.
on peut puisquez^5-1est un polynome réel alors un complexe est racine <=> son conjugué est racine

mais bon...

tout aussi équivalent à l'idée des suites géométriques est de reconnaitre une identité remarquable :z^5-1= z^5-1^5 =(z-1)(...) ce qui répond à la question de façon évidente puisque 1 est racine de z - 1

Posté par
fanfan56re : Nombres complexes 01-11-16 à 16:42

Je dois être totalement perdu puisque je n'arrive pas à comprendre comment faire malgré votre aide...

Posté par
ThierryPomare : Nombres complexes 01-11-16 à 16:53

Bonsoir,

Il est clair que

\exp\left(\dfrac{6\,i\,\pi}{5}\right)=\exp\left(\dfrac{6\,i\,\pi}{5}-2\,i\pi\right)=\exp\left(-\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)

et

\exp\left(\dfrac{8\,i\,\pi}{5}\right)=\exp\left(\dfrac{8\,i\,\pi}{5}-2\,i\pi\right)=\exp\left(-\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)

Or, si z est l'une des solutions complexes du 1., alors

0=\left(z-\exp\left(\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{6\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{8\,i\,\pi}{5}\right)\right)\\=\left(z-\exp\left(\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(-\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(-\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)\\=\left(z-\exp\left(\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(-\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(-\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)=\cdots

Je ne peux pas mieux faire. J'ai utilisé la consigne de ton prof, envoyée par mail !!

Posté par
fanfan56re : Nombres complexes 01-11-16 à 17:06

Merci ! Je vois déjà plus clair dans les indication envoyées par mon prof !

Maintenant je ne comprends pas comment êtes-vous passé de

0= 1 + z + z2 + z3 + z4

à

http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?0=\left(z-\exp\left(\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{6\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{8\,i\,\pi}{5}\right)\right)\\=\left(z-\exp\left(\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(-\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(-\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)\\=\left(z-\exp\left(\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(-\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)\,\left(z-\exp\left(-\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\right)=\cdots


Mais quoiqu'il en soit j'ai remarqué pouvoir utiliser les formules d'Euler, est-ce bien la solution ?

Posté par
fanfan56re : Nombres complexes 01-11-16 à 17:13

Autant pour moi la formule ne s'est pas affichée comme la votre, mais je parlais bien de celle-ci :

0=(z-e^\frac{{2i\pi }}{5}))(z-e^{\frac{4i\pi }{5}}))(z-e^{\frac{6i\pi }{5}}))(z-e^{\frac{8i\pi }{5}}))

Posté par
fanfan56re : Nombres complexes 01-11-16 à 18:04

J'ai finalement compris votre première méthode,et je suis parvenu au résultat attendu, merci de votre sollicitude !


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