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Nombres Complexes

Posté par
Boyae
21-01-20 à 11:25

Bonjour a tous !
j'essaye de montrer une proposition et je demande quelques astuces s'il vous plait !
L'enonce : soit a, b ,c et d des nombres complexes deux a deux distincts .Montrer que
\frac{a-d}{b-c}\in iR et \frac{b-d}{c-a}\in iR\Rightarrow \frac{c-d}{a-b}\in iR.
Merci pour vos aides !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 11:43

Bonjour,
Une interprétation géométrique peut-être ?

Posté par
lake
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 11:45

Bonjour,

  L'orthocentre d'un triangle ?

Posté par
lake
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 11:46

Bonjour Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 11:46

Bonjour lake,
Plus gentille que la mienne ton indication

Posté par
lake
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 11:49

Oui, mais si ce sujet est relatif aux complexes, nous le voyons tous les deux du mauvais "côté"...

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 11:51

bonjour à tous
pas d'accord....pour moi c'est justement le bon côté....

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 11:56

Bonjour malou
Je pense aussi que c'est le bon côté.

Posté par
Boyae
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 12:01

d accord je vais essayer de le prouve geometriquement ! ainsi de suite je questionne s 'il ya une methode ecrite puisque les deux fraction appartiennent a iR donc le nombre  Z=-Z* ! est ce qu'on peut utiliser cet astuce pour resoudre l'exercice non ?!

Posté par
lake
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 12:53

Géométriquement, c'est quasi immédiat.

Analytiquement, les deux hypothèses se traduisent par:

  (a-d)(\bar{b}-\bar{c})+(\bar{a}-\bar{d})(b-c)=0

  (b-d)(\bar{c}-\bar{a})+(\bar{b}-\bar{d})(c-a)=0

On développe tout, on ajoute membre à membre pour obtenir après factorisation:

  (c-d)(\bar{a}-\bar{b})+(\bar{c}-\bar{d})(a-b)=0 qui est équivalent à \dfrac{c-d}{a-b}\in i\mathbb{R}

>> malou et Sylvieg;

Je ne vous donne pas tort mais tout de même:

  Où est l'œuf, où est la poule ?
  Autre exemple où on revisite le théorème de l'angle au centre avec les complexes:   demontrer qu'un nombre est réel



Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombres Complexes 21-01-20 à 13:30

Pour Boyae,
Géométriquement, je te conseille d'essayer de faire une figure avec les orthogonalités que donnent les 2 quotients imaginaires purs.

Citation :
est ce qu'on peut utiliser cet astuce pour resoudre l'exercice
Oui, c'est ce que fait lake.
Pour moi, ce n'est pas de l'analytique car pas de coordonnées (ni même d'affixes ).
Une fois développé le premier membre de \; (a-d)(\bar{b}-\bar{c})+(\bar{a}-\bar{d})(b-c)=0 , tu peux en déduire les développements des deux autres premiers membres.
Avec des permutations circulaires de (a,b,c).

Posté par
vham
re : Nombres Complexes 22-01-20 à 10:36

Bonjour,

--> lake : D'accord.pour

Citation :
Géométriquement, c'est quasi immédiat.

Comment justifiez-vous le passage
 de\ \  \dfrac{a-d}{b-c}\in iR   \  à \ \ (a-d)(\bar{b}-\bar{c})+(\bar{a}-\bar{d})(b-c)=0  ?

Posté par
lake
re : Nombres Complexes 22-01-20 à 11:30

Bonjour vham,

Z\text{ imaginaire pur }\Longleftrightarrow Z+\bar{Z}=0

Ici:

\dfrac{a-d}{b-c}\in i \mathbb{R} \Longleftrightarrow \dfrac{a-d}{b-c}+\overline{\left(\dfrac{a-d}{b-c}\right)}=0\Longleftrightarrow \dfrac{a-d}{b-c}+\dfrac{\bar{a}-\bar{d}}{\bar{b}-\bar{c}}=0\Longleftrightarrow (a-d)(\bar{b}-\bar{c})+(\bar{a}-\bar{d})(b-c)=0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombres Complexes 22-01-20 à 12:02

Et c'est Boyae qui a donné le premier cette idée

Citation :
donc le nombre Z=-Z* ! est ce qu'on peut utiliser cet astuce pour resoudre l'exercice non ?!



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