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Nombres Complexes

Posté par
Cassiopee1234 23-09-20 à 15:10

Bonjour voici mon sujet:
On munit le plan d'un repère orthonormé (O;u->;v->)
A tout nombre complexe z on associe le nombre complexe
z'=[2i-z^2]/[z*z barre +1]
On écrit z=x+iy et z'= x' +iy' sous leur forme algébrique
Soient M(x;y) un point du plan M'(x';y') le point qui lui est associé par la transformation z|—>z'

1) Justifier que le nb complexe z' est définie pour tout nb complexe z

2) existe-t-il des valeurs de z telles que z' soit égal à 1 ?

3) Démontrer que z' est réel ssi
(z-zbarre)(z+zbarre) = 4i

4)Déterminer l'ensemble E1 des points M (x;y) c'est tels que z' soit un réel

4) déterminer l'ensemble E2 des points M (x;y) tels que z' soit un imaginaire pur.


Alors voilà j'ai réussi les deux premières questions mais je bloque pour la troisième. Je pensais replacer z et zbarre par leurs écriture algébriques mais je ne vois pas à quoi ça sert une fois développer. Quelqu'un peut il m'aider ?

Merci !

Posté par
lakere : Nombres Complexes 23-09-20 à 15:16

Bonjour,

  3) z'\text{ réel }\Longleftrightarrow z'=\bar{z'}

Posté par
Cassiopee1234re : Nombres Complexes 23-09-20 à 16:42

Je ne me rappelais plus de cette propriété merci !
Du coup je trouve bien en utilisant cette propriété que 4i doit être = 0 mais se que je ne comprends c'est à quoi sert l'expression (z-zbarre)(z+zbarre)=4i

En la développant j'obtiens 4ixy cela veut dire que pour que z' soit réel il faut absolument que x=1 et y=1 ??

Parceque pour la question 4 j'ai trouvé que c'était pour y=1 que tout nombre z' est réel..

  

Posté par
lakere : Nombres Complexes 23-09-20 à 16:49

J'ai beaucoup de mal à te suivre.

Citation :
Du coup je trouve bien en utilisant cette propriété que 4i doit être = 0


4i est un complexe non nul !

Citation :
En la développant j'obtiens 4ixy cela veut dire que ...


  Tant qu'il n'y a pas de signe "=", cela ne veut pas dire grand chose...

  Réécris avec 4ixy=\cdots en remplaçant les points de suspension par ce qu'il faut. Ensuite, on pourra discuter. Pour l'instant, je ne vois rien de concluant

Posté par
Cassiopee1234re : Nombres Complexes 23-09-20 à 16:59

z'=z'Barre
Partie imaginaire(z')= -partie imaginaire(z')
2i=-2i
2i+2i=0
4i=0
Donc ça j'ai réussi à le démontrer

(z-zbarre)(z+zbarre)=4i
(x+iy-x+iy)(x+iy+x-iy)=4i
(2iy)(2x)=4i
4iyx=4i

Donc ici y=1 et x=1

Cela veut dire que pour que z' soit réel y = 1 et x=1 ?

Posté par
Cassiopee1234re : Nombres Complexes 23-09-20 à 17:04

Euhhh je viens de comprendre que 4i≠0 donc mon développement doit être faux

J'avais fait ça :
2i(1-y)/(x^2+y^2+1)=-2i(1 -y)/(x^2+y^2+1)
Et je me retrouve à
2i=-2i
J'ai du faire une grosse erreur !

Posté par
lakere : Nombres Complexes 23-09-20 à 17:09

Bon, on est à la question 3)

  

Citation :
(z-zbarre)(z+zbarre)=4i
(x+iy-x+iy)(x+iy+x-iy)=4i
(2iy)(2x)=4i
4iyx=4i


  C'est correct mais il ne faut pas s'arrêter là; tu en déduis immédiatement :

  xy=1

Maintenant, on est en coordonnées cartésiennes.

Quel est l'ensemble des points M de coordonnées (x,y) tel que :

   xy=1 ?

Posté par
lakere : Nombres Complexes 23-09-20 à 17:11

Plutôt la question 4). Désolé.

Posté par
Cassiopee1234re : Nombres Complexes 23-09-20 à 17:22

Pour moi xy =1 alors x=1/y et y=1/x
Ou alors x=1 et y=1

J'avoue ne pas être à l'aise pour tout se qui est graphique...

•et du coup pour justifier la question 3) je met ma démonstration  de (z-zbarre)(z+zbarre)=4i
4iyx=4i      ? Parceque je trouve un truc bizarre quand je fais z' =z'barre

  J'avais fait ça :
2i(1-y)/(x^2+y^2+1)=-2i(1 -y)/(x^2+y^2+1)
Et je me retrouve à
2i=-2i  
4i=0 ????

Merci beaucoup de m'aider !

Posté par
lakere : Nombres Complexes 23-09-20 à 17:38

3)  z'=\bar{z}\Longleftrightarrow \dfrac{2i-z^2}{z\bar{z}+1}=\dfrac{-2i-\bar{z}^2}{\bar{z}z+1}\Longleftrightarrow 2i-z^2=-2i-\bar{z}^2\Longleftrightarrow z^2-\bar{z}^2=4i\Longleftrightarrow (z-\bar{z})(z+\bar{z})=4i

4)  \large \underbrace{ (z-\bar{z})}_{2i\Im{z}}\underbrace{(z+\bar{z})}_{2\Re{z}}=4i\Longleftrightarrow 4ixy=4i\Longleftrightarrow xy=1

    On cherche donc  la courbe d'équation xy=1 dans le repère de départ.

   Si on ne sait pas, on peut imaginer étudier la fonction réelle f définie par f(x)=\dfrac{1}{x} sur \mathbb{R}^*

  La courbe d'équation y=\dfrac{1}{x} est le graphe de cette fonction.

  Quel est donc cette courbe ?

Posté par
Cassiopee1234re : Nombres Complexes 23-09-20 à 18:02

Il s'agit de la fonction inverse.

Ça veut dire que l'ensemble des points  E1 M(x;y) tel que z' soit un réel Sont tous les points pour lesquels f(x) : 1/x ?

Posté par
malou Webmasterre : Nombres Complexes 23-09-20 à 18:05

Bonjour à tous les deux, je ne fais que passer
Cassiopee1234, et ton programme de seconde ? Présentation des fonctions carré et inverse

Posté par
lakere : Nombres Complexes 23-09-20 à 18:09

Oui, mais c'est mal exprimé; il s'agit de l'hyperbole équilatère "de base" d'équation y=\dfrac{1}{x}.

  Un dessin avec l'ensemble E_1 l'hyperbole en question avec un point M d'affixe z lui appartenant et son image le point M' d'affixe z'=\dfrac{2i-z^2}{z\bar{z}+1} qui, comme de juste, appartient à l'axe des réels :

Nombres Complexes

Posté par
lakere : Nombres Complexes 23-09-20 à 18:10

Bonjour malou

malou edit > bonjour lake

Posté par
Cassiopee1234re : Nombres Complexes 23-09-20 à 22:12

Merci je pense avoir tout bien compris !

• pour la dernière question je suis partie du principe que la partie réelle devait être égal à 0 et je trouve donc
y=x
y=-x
-y=x
Donc l'ensemble E2 admet pour solution tout nombre dont y=x ou y=-x ou -y=x

Posté par
lakere : Nombres Complexes 23-09-20 à 22:24

Oui, mais encore une fois mal exprimé.
On te demande un ensemble (de points);  avec les complexes, on fait de la géométrie :

y=x\text{ ou }y=-x

L'ensemble E_2 est la réunion  des deux droites première et seconde bissectrice du repère dans lequel on travaille


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