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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Nombres complexes
Posté par audinaudin
Bonjour à tous !
Comment déterminer la borne supérieure de |1/(z⁴-5z-1)| si |z|=2
Merci d'avance
Bonsoir carpediem,
Quand je réponds à un fil, c'est que j'ai été "au bout". En l'occurrence ici, j'ai mis les mains dans le cambouis. Calculatoire et pas terrible. Mais j'ai abouti.
Ceci m'interpelle :
Citation :
l'ensembe {|z| = 2} est compact donc les bornes sont atteintes ...
l'ensembe {|z| = 2} est compact donc les bornes sont atteintes ...
En tant qu'agrégatif, tu enfourches ton manche à balai ou ton hélicoptère pour prendre de la hauteur. Soit. Mon niveau ne me permet pas de comprendre où tu veux en venir. J'apprécie toujours tes points de suspension.
D'où ma question : cette remarque, certainement fort judicieuse, t'a t'elle permis d'aboutir proprement à un résultat ?
Petit PS : j'avais fait dès le de début la figure de Verdurin
Bonsoir lake.
Je trouve tes remarques à carpediem assez désagréables et totalement hors-sujet.
Et ton « petit PS » carrément prétentieux.
Il me semble que l'idée est plus d'aider audinaudin que de dire « je suis le meilleur ».
Pour audinaudin
en prenant l'indication de carpediem on peut lire sur la figure que j'ai postée le minimum de sachant que
.
Pour trouver ce minimum on écrit en utilisant l'indication de lake.
Puis on remarque que le minimum est atteint quand les points d'affixes ,
et
sont alignés.
Ce n'est pas une démonstration, mais ça permet de trouver le résultat.
Ensuite on peut donner une justification calculatoire.
Bonsoirverdurin,
Citation :
Ce n'est pas une démonstration, mais ça permet de trouver le résultat.
Ce n'est pas une démonstration, mais ça permet de trouver le résultat.
Tout est dit.
bonsoir
ne voyant pas de raccourci, je me suis mis aussi les mains dans le cambouis 
bon, finalement ça se fait...
en cherchant le minimum de |z4 - 5 z - 1|² pour z = 2 eit
on obtient la recherche du minimum de
f(t) = -256 cos4(t) - 1280 cos3(t) + 256 cos2(t) + 980 cos(t) + 325
avec t 
[0 ; 
] vu la parité de l'expression
puis à la recherche de la valeur minimale de
P(u) = -256 u4 - 1280 u3 + 256 u2 + 980 u + 325
sur [-1 ; 1]
qui conduit à u=1... et donc t=0 ... et donc à un minimum valant 25 pour f
sauf erreur !
c'est lourdingue mais pour l'instant j'ai pas mieux...
mais bon, une fois les mains pleines de cambouis... y'a quand même plus simple !
quand z décrit le cercle de centre O et de rayon 2,
A(z4) décrit le cercle de centre O et de rayon 16
B(5z+1) décrit le cercle de centre (1;0) et de rayon 10
la distance minimale entre des points de ces deux cercles est 5, atteinte entre les points (16;0) et (11;0)
où se trouvent justement A et B lorsque z=2
d'où le résultat.
Bonjour,
@matheuxmatou : 
Citation :
on remarque que le minimum est atteint quand les points d'affixes
, 
et 
sont alignés.
La remarque est démontrée on remarque que le minimum est atteint quand les points d'affixes
mes deux remarques n'avaient qu'un seul but :
1/ simplifier le calcul en passant du sup à l'inf car la fonction inverse est continue sur ]0, +oo[
2/ que l'inf est en fait un minimum : c'est à dire qu'il n'y a pas de passage à la limite ou quoi que ce soit mais qu'il existe bien (au moins) un complexe de module 2 qui réalise ce minimum
bien sur en notant P(z) = z^4 - 5z - 1 s'il existait w de module 2 tel que P(w) = 0 ... il y aurait eu un pb ... enfin à gérer et conclure convenablement ...
je n'ai pas prétendu dire quoi que ce soit de plus ... et aurais évidemment exécuter les mêmes calcul laborieux que vous pour trouver ce minimum ...
si j'avais été prétentieux j'aurai parlé du principe du maximum (ou minimum) pour la fonction holomorphe P pour assurer l'existence de ce minimum ...
une dernière remarque (que je n'avais pas rajouté hier pour ne pas faire un post supplémentaire)
on pouvait remarquer d'après l'inégalité triangulaire que |P(z)| < |z|^4 + 5|z| + 1 = 27
ce qui conforte votre résultat ...
merci à verdurin qui a compris le sens de mes propos et bravo à matheuxmatou pour ce résultat géométrique ...
En cherchant une démonstration simple de z^4 - 5z - 1 non nul, une autre idée m'est venue :
Avec Z = z4
et
Z' = -(5z+1) , on a
|Z+Z'|
| |Z| - |Z'| |.
Où |Z| = 16.
De plus |Z'| = |5z+1|
|5z|+|1| . D'où |Z'|
11 .
Enfin | |Z| - |Z'| | = |Z| - |Z'|
16 - 11 .
traduction géométrique encore plus simple :
Avec N d'affixe
5z+1
et
K
d'affixe
z4 .
|5z+1| 11 ; donc
ON
11 .
|z4| = 16 ; donc
OK = 16 .
OK > ON et
NK
OK - ON 16 - 11 .
Quant aux bornes qui sont atteintes pour des raisons x ou y, en voici une z niveau terminale :
Une fois z remplacé par 2eit avec t dans [0;2], on trouve une expression de |z4-5z-1|2 qui est une fonction continue de t.
L'image d'un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.
Un petit doute : Est-ce encore au programme de terminale ?
juste pour le fun :
en langage symbolique (construction ggb) :
I = (-1, 0)
M = 2exp (it)
P = -5M
Q = M^4
N = (t, |Q + P + I|)
la courbe bleue est le lieu de N lorsque t parcourt [0, 2pi] soit quand M fait un tour
on cherche à minimiser
la règle du parallélogramme (pour l'addition des vecteurs) nous dit que la somme vectorielle de deux vecteurs est extrémale (en norme) lorsque les vecteurs sont colinéaires et de même sens pour un max et de sens contraire pour un min
dans la figure suivante :
j'ai maintenant posé I = (1, 0)
et alors
ha et pardon Sylvieg j'ai oublié de te répondre : à priori non ce n'est plus au programme ... reste seulement le TVI ...(qui d'ailleurs l'utilise implicitement quand on calcule l'image des bornes d'une fonction strictement monotone) ...
Il faut bien que les « aidants » se fassent plaisir de temps en temps.
audinaudin a pu en profiter.
Tant mieux pour lui.