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Niveau terminale
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Nombres complexes

Posté par
zing 23-09-23 à 16:36

Bonsoir a tous !!
J?ai mon exercice en math qui me dépasse
1) déterminer et construire l?ensemble des points M d?affixe z= x+iy du plan tels que |2iz-1-3i|=8
2) déterminer et construire l?ensemble des points M d?affixe z=x+tu du plan tels que la partie réelle soit égale a zéro avec z = (z)/(z+2i)

malou edit **titre modifié **

Posté par
zingre : Nombre 23-09-23 à 16:44

Pour commencer je sais meme pas si les || représente les valeurs absolue ou le module bon moi j'ai décide que c'est le module
J'ai fait ceci :
|2iz-1-3i|=8 |2i(x+iy)-1-3i|=8 |2ix-2i2y-1-3i|=8
|2ix-2y-1-3i|=8
|-2y-1+i(2x-3)|=8
|-2y-1+i(2x-3)|=8
|-2y-1+i(2x-3)|2=22
(-2y-1+i(2x-3))(-2y-1-i(2x-3))=22 c'est la ou je suis

Posté par
malou Webmasterre : Nombre 23-09-23 à 16:57

Bonjour
Tu es parti tête baissée dans les calculs là...

Moi j'aurais mis dès l'énoncé 2i en facteur dans le module puis j'aurais coupé le module du produit en produit des modules ...

Posté par
lakere : Nombre 23-09-23 à 17:01

Bonjour,

|...| représente une valeur absolue pour les réels et un module pour les complexes.
Personnellement, j'aurais évité de poser z=x+iy :

|2iz-1-3i|=8 \Longleftrightarrow \left|2i\left(z-\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2}\right)\right|=8\Longleftrightarrow |2i|\left|z-\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2}\right|=8\Longleftrightarrow ?

Posté par
lakere : Nombre 23-09-23 à 17:02

Ah! bonjour malou le \LaTeX coute cher en temps !

Posté par
malou Webmasterre : Nombre 23-09-23 à 17:03

Bonjour lake 😉
Vas-y, prends la main
On a donné la même méthode

Posté par
lakere : Nombre 23-09-23 à 17:05

Posté par
lakere : Nombres complexes 23-09-23 à 17:41

>> zing,
Tu fais une pause ce qui est tout à fait normal.
En tout état de cause, je reviendrai sur ton fil en soirée à moins que d'autres intervenants n'aient réagi dans l'intervalle.
Dans l'urgence, j'ai posté un très vilain coûte

Posté par
zingre : Nombres complexes 23-09-23 à 20:32

Bonsoir désole j'avais plus de connexion
Bon j'ai une remarque a faire sur le fait que vous as décide de factorise le 2i pourquoi ne pas tout simple rempiler  l'expression de z=x+iy dans le  module ensuite déterminer le module

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 23-09-23 à 20:50

Parce que cela fera beaucoup moins de calculs
Donc moins d'erreurs potentielles
Et du temps gagné

Après tu peux faire les deux méthodes et comparer.

Posté par
zingre : Nombres complexes 23-09-23 à 21:06

D'accord mais j'ai des difficultés a continuer ce que lake a fait

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 23-09-23 à 21:29

Que vaut |2i| déjà ?

Posté par
zingre : Nombres complexes 23-09-23 à 21:50

|2i| faut 2

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 23-09-23 à 22:05

Oui

lake @ 23-09-2023 à 17:01



|2iz-1-3i|=8 \Longleftrightarrow \left|2i\left(z-\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2}\right)\right|=8\Longleftrightarrow |2i|\left|z-\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2}\right|=8\Longleftrightarrow ?


Remplace ! Et simplifie ton égalité
Puis ....module = distance entre deux points

Posté par
zingre : Nombres complexes 23-09-23 à 22:18

Il d'abord déterminer le module |z-3/2+i/2|?

Posté par
lakere : Nombres complexes 24-09-23 à 00:05

Citation :
|2i| vaut 2


Oui et il faut poursuivre :

Citation :
|2iz-1-3i|=8 \Longleftrightarrow \left|2i\left(z-\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2}\right)\right|=8\Longleftrightarrow |2i|\left|z-\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2}\right|=8\Longleftrightarrow ?


|2i|\left|z-\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2}\right|=8\Longleftrightarrow \left|z-\dfrac{3}{2}+\dfrac{i}{2}\right|=4

On peut écrire la dernière égalité sous la forme :

   \left|z-\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{i}{2}\right)\right|=4

Il est temps de passer à la géométrie :

En appelant A le point du plan complexe d'affixe \dfrac{3}{2}-\dfrac{i}{2} , on a donc :

|z-z_A|=4

Autrement dit AM=4 où M est le point d'affixe z.

Quel est l'ensemble des points M ? (le lieu qu'on te demande de trouver).

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 07:33

L'ensemble des points chercher est le cercle (c) de centre M et de rayon r = 4

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 24-09-23 à 07:42

Bonjour,
Je réponds en l'absence des autres aidants.
C'est presque ça. Sans doute une coquille :
Une seule lettre à changer.

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 07:47

Je comprends pas

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 24-09-23 à 07:57

As-tu essayé de construire le cercle que tu as trouvé ?

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 08:05

Meme pas je sais pas ou place M  jai pas ses coordonnées

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 24-09-23 à 08:09

Et le point A, l'as-tu placé ?

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 08:10

Oui je crois que c'est ça dans mon repère j'ai placer le point d'affixe A ( 3/2 , -1/2) c'est a parti de la que place mon compat pour faire mon cercle en respectant le rayon r=4

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 24-09-23 à 08:14

Oui
Donc, quel est le centre du cercle ?

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 08:23

L'origine

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 24-09-23 à 08:33

Où as-tu placé la pointe de ton compas pour que AM = 4 ?
Pas en O.

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 08:37

Non pas en O mais sur A

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 24-09-23 à 08:53

Donc quel est le centre de ton cercle ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes 24-09-23 à 08:55

Bonjour malou
Je m'éclipse.

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 24-09-23 à 09:04

Bonjour Sylvieg
Je ne suis pas toujours présente non plus ...tu peux intervenir à tout moment ...

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 09:37

C'est A le milieu

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 24-09-23 à 09:44

c'est A le centre du cercle (pour un cercle on dit le centre, pour un segment on dit le milieu)


oui c'est bien ça

question 1 finie
tu as réfléchi à la 2 ? une méthode qui n'introduirait pas z=x+iy tout de suite pour économiser les calculs peut-être

attention dans ton énoncé, tu devrais avoir un Z

Z=\dfrac{z}{z+2\,\text i} est réel ssi ...

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 10:00

Oui mais en introduisant j'ai rien de bon

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 10:02

J'ai ça comme expression
(X+iy)/x+i(y+2)

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 24-09-23 à 10:07

zing @ 24-09-2023 à 10:02

J'ai ça comme expression
(x+iy)/(x+i(y+2))


bon tu n'as pas suivi mon idée, pas grave...tu verras ainsi les différences entre les méthodes

arrivé sur cette expression, tu multiplies par la quantité conjuguée du dénominateur "en haut et en bas"

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 10:09

Votre méthode consiste a introduire z = x+iy dans l'expression de z non?

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 24-09-23 à 10:13

pas du tout

dans ton cours, tu n'as pas une propriété faisant intervenir le conjugué ?

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 10:26

z = x+iy sont conjugue est z avec une barre en haut est = x-iy

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 24-09-23 à 10:34

tu n'as pas
Z \;\text{réel }\Longleftrightarrow \overline Z=Z
si tu l'as, ce sera plus rapide

si tu ne l'as pas, tu fais ce que j'ai dit à 10h07

je quitte un moment

Posté par
lakere : Nombres complexes 24-09-23 à 13:20

Bonjour,

  Un petit rectificatif :

Citation :
...tels que la partie réelle soit égale a zéro avec Z = (z)/(z+2i)


  Autrement dit Z est un imaginaire pur.

En principe, tu dois connaître l'équivalence :

   Z\text{ imaginaire pur}\Longleftrightarrow \overline{Z}=-Z

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 24-09-23 à 13:22

Bien vu lake, mon cerveau m'a joué des tours
Je te repasse la main avec plaisir

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 14:25

Je comprends je doit conjugué z ??

Posté par
lakere : Nombres complexes 24-09-23 à 14:32

Avec Z=\dfrac{z}{z+2i} (et bien sûr z\not=-2i),

écrire que la partie réelle de Z est nulle, soit que Z est un imaginaire pur revient à écrire que \overline{Z}=-Z ou encore :

  \overline{\left(\dfrac{z}{z+2i}\right)}=-\dfrac{z}{z+2i}

Soit :

\dfrac{\bar{z}}{\bar{z}-2i}=-\dfrac{z}{z+2i}

Tu développes tout ça (par exemple produit en croix) et tu mets tout dans un membre.
A toi

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 17:32

Je remplace z barre par x-iy et z par x+iy puis je développe ?

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 24-09-23 à 17:36

non, fais le produit en croix avec les z et les \overline z

pars du principe que plus tard tu remplaceras, moins tu auras de calculs

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 17:39

Comment puis qu'il y'a une égalité j'arrive pas

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 17:42

On appelle quoi produit en croix

Posté par
zingre : Nombres complexes 24-09-23 à 17:45

Le problème je sais meme pas ce qu'on cherche suis tête baisse

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes 24-09-23 à 18:02

si tu as b0 et d0

dire que \dfrac a b = \dfrac c d revient au même que de dire a\times d = b\times c c'est ça le produit en croix (vu au collège)

ici tu sais que z\neq -2\,\text i donc tu sais que \overline z \neq 2\,\text i

et écrire que \dfrac{\bar{z}}{\bar{z}-2i}=-\dfrac{z}{z+2i}

revient donc à écrire que

\bar z (z+2\,\text i)=-z(\bar z -2\,\text i)

tu développes tout, tu regroupes, etc
et tu n'oublies pas que tu as posé des conditions

Posté par
zingre : Nombres complexes 25-09-23 à 06:24

Bonjour en développant j'obtiens ceci
X2+Y2+2Y=0

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