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Nombres complexes d'un point de vue géométrique

Posté par
lou1100 22-02-23 à 10:50

Bonjour,
Je dois faire l'exercice suivant :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗ , 𝑣 ).
On pose 𝑧0 = 8 et pour tout entier naturel 𝑛 :

Z_n_+_1 = \frac{3-i\sqrt{3}}{4} Z_n

On note 𝐴𝑛 le point du plan d'affixe 𝑧𝑛.

1) Déterminer le module et un argument de \frac{3-i\sqrt{3}}{4}

2) En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes 𝑧1, 𝑧2 et 𝑧3 sous forme trigonométrique et vérifier que 𝑧3 est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.

3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

Z_n = 8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^n ( cos (-\frac{n\pi}{6}) + i sin ( -\frac{n\pi}{6}) )

4) Pour tout entier naturel 𝑛, on pose 𝑢𝑛 = |𝑧𝑛|. Déterminer la nature et la limite de la suite (𝑢𝑛).

5) Démontrer que pour tout entier naturel k,

\frac{Z_k_+_1 - Z_k}{Z_k+_1} = -\frac{1}{\sqrt{3}}i

6) En déduire que pour tout entier naturel k,
A_kA_k_+_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} OA_k+_1

7) Pour tout entier naturel 𝑛, on appelle ℓ𝑛 la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points
𝐴0, 𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛. On a ainsi : ℓ𝑛 = 𝐴0𝐴1 + 𝐴1𝐴2 +. . . + 𝐴n-1𝐴n. Démontrer que la suite (ℓ𝑛) est
convergente et calculer sa limite

Voici mes recherches :

1) \left|\frac{3-i\sqrt{3}}{4} \right| = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos ( \alpha) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt3}{2}

sin( \alpha) = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{2}

Une valeur de  arg(z) = -\frac{\pi}{6} + 2K\pi

2) J'ai calculé Z1, Z2, Z3

Z1 = 6-2\sqrt{3}i

Z2 =3-3\sqrt{3}i

Z3=-3\sqrt{3}i

Mais le problème est que je ne déduis rien dans cette question

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 22-02-23 à 10:59

Bonjour
2) utilise ta première question
fais tout directement en forme trigo (ne calcule pas les affixes sous forme algébrique)

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 22-02-23 à 11:16

D'accord,
L'écriture sous forme trigonométrique est la suivante :
r(cos\theta + isin\theta )

Donc :
\frac{\sqrt{3}}{2}(cos(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi) + isin (-\frac{\pi}{6} + 2k\pi)

Mais je ne sais pas comment faire pour chacun des nombres

Merci d'avance

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 22-02-23 à 16:08

Je me permet de revenir vers vous car j'ai essayé d'avancer et de trouver une solution, je ne suis pas sûre:

Je suis partie des des valeurs de Z1, Z2, Z3 puis j'ai effectué le même raisonnement que pour la Q1

Ce qui me donne:

4\sqrt{3}(cos \frac{\pi}{6} + isin-\frac{\pi}{6})

6(cos \frac{\pi}{3} + isin-\frac{\pi}{3})

3\sqrt{3}(isin-\frac{\pi}{2})

On voit donc que Z3 est un imaginaire pur avec 3\sqrt{3} la partie imaginaire

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 08:30

excuse le temps de réponse
en prenant cette méthode, tu ne rentres pas vraiment dans l'esprit de ton exercice à mon avis

quelle est la forme trigo de z_0 ?
quelle est la forme trigo de \frac{3-i\sqrt{3}}{4} ?
d'où quelle est la forme trigo de z_1 ?

tu n'as jamais écrit les forme trigo entre crochets ?
Les nombres complexes
Nombres complexes d\'un point de vue géométrique

avec un exemple derrière dans la fiche

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 11:44

Z0 n'admet pas de forme trigonométrique car c'est un nombre réel

La forme trigo de \frac{3-i\sqrt{3}}{4} est [\frac{\sqrt{3}}{2} ; -\frac{\pi}{6}] qu'on peut aussi écrire :

\frac{\sqrt{3}}{2}(cos( -\frac{\pi}{6}) + isin( -\frac{\pi}{6}) )

Mais je n'arrive toujours pas à déduire Z1 car je ne vois pas comment peut-on trouver sans calculer les affixes sous forme algébrique

Merci d'avance

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 11:57

Bonjour,
Un réel est aussi un complexe. D'argument nul.
En reprenant l'écriture proposée par malou, z0=8 s'écrit donc également z0=[8;0]
Ensuite, l'intérêt de cette écriture, comme indiqué dans la fiche que tu as certainement lue, est que le résultat du produit de deux complexes, c'est le produit des modules et la somme des arguments
Par exemple [a,][b;]=[ab;+]

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 14:29

Très bien, donc si j'ai bien compris j'obtiens :

Z1 = [4\sqrt{3} ; -\frac{\pi}{6}]

Z2 = [6 ; -\frac{\pi}{3}]

Z3 = [3\sqrt{3} ; -\frac{\pi}{2}]

Je comprends donc mieux le fait d'utiliser cette  notation à la place de l'autre !

Est-ce que je peux dire que Z3 est un imaginaire pur car son argument vaut \frac{\pi}{2} ?

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 14:36

vaut -/2 oui c'est ce qu'il faut dire

edit > sanantonio312, tu peux continuer ...je vais quitter

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 14:38

Oui, mais c'est -/2

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 14:39

Salut malou

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 15:58

Oui, excusez-moi j'ai oublié le "-"

3) Voici mes recherches pour la récurrence :

On veut montrer par récurrence que :

Z_n = 8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^n (cos (-\frac{n\pi}{6} ) + isin (-\frac{n\pi}{6}))

Initialisation :

Pour n = 0, Z0 = 8  et Z_0 = 8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^0(cos (-\frac{0\pi}{6} ) + isin (-\frac{0\pi}{6})) = 8

La propriété est vraie pour n = 0

Hérédité
Pour montrer que la propriété est héréditaire pour tout n appartenant à , on suppose que

Z_n = 8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^n (cos (-\frac{n\pi}{6} ) + isin (-\frac{n\pi}{6})) et on doit démontrer :

Z_n_+1= 8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^n^+^1 (cos (-\frac{(n+1)\pi}{6} ) + isin (-\frac{(n+1)\pi}{6}))

Or Z_n_+_1 = \frac{3-i\sqrt{3}}{4} Z_n

Z_n_+_1 = \frac{3-i\sqrt{3}}{4} \times 8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^n (cos (-\frac{n\pi}{6} ) + isin (-\frac{n\pi}{6}))   =  8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^n^+^1 (cos (-\frac{(n+1)\pi}{6} ) + isin (-\frac{(n+1)\pi}{6}))

Conclusion

Pour tout n appartenant à , Zn = Z_n = 8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^n (cos (-\frac{n\pi}{6} ) + isin (-\frac{n\pi}{6}))

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 17:18

Je trouve cette dernière égalité:

Citation :
Z_n_+_1 = \frac{3-i\sqrt{3}}{4} \times 8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^n (cos (-\frac{n\pi}{6} ) + isin (-\frac{n\pi}{6}))   =  8 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^n^+^1 (cos (-\frac{(n+1)\pi}{6} ) + isin (-\frac{(n+1)\pi}{6}))
un peu ... rapide.
On y arrive vite avec la notation [module;argument]
Mais comme tu l'as fait, c'est moins évident
Non?

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 17:28

Oui c'est vrai que cela fait un peu bricolage, je ne sais pas comment faire pour détailler entre les deux étapes

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 17:40

Utilise la notation:
zn+1=[3/2;-/6]×[8(3/2)n;-n/6]
Et la "règle" de calcul des produits de complexes sous cette forme
C'est aussi immédiat et en plus, c'est clair.

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 18:00

Sinon, tu dois faire le calcul sous la forme
(3/2)(cos(-/6)+isin(-/6))×8(3/2)n(cos(-n/6)+isin(-n/6))
Developper
Appliquer les formules trigonométriques connues
Conclure
C'est plus long, mais ça marche

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 18:10

Donc
On pose Zn = [8(\frac{\sqrt{3}}{2})^n ; -\frac{n\pi}{6}]

Zn+1 = [\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{\pi}{6}]Z_n

Zn+1 = [\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{\pi}{6}][8(\frac{\sqrt{3}}{2})^n ; -\frac{n\pi}{6}]

Zn+1 = [8(\frac{\sqrt{3}}{2})^n^+^1 ; -\frac{(n+1)\pi}{6}]

Comme cela ?
C'est vrai que c'est plus immédiat et très clair !

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 18:16

N'est-ce pas!
Encore faut-il que tu sois supposée connaitre cette notation.

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 23-02-23 à 20:28

Je ne sais pas trop si je suis supposée connaître cela mais je ne pense pas que je serai pénalisée pour avoir utilisé une méthode qui permet d'être plus rapide

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 24-02-23 à 08:04

Pour utiliser une méthode, il faut avoir démontré qu'elle fonctionne.
Ici, il "suffit" de démontrer que:
a(cos()+isin())×b(cos()+isin())=ab(cos(+)+isin(+))

Ou alors, tu fais ce même calcul avec les données de l'exercice.
Vis-à-vis de ton prof, c'est plus propre...

Posté par
malou Webmasterre : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 24-02-23 à 08:40

hello
je repasse par ici
peut-être lou1100 a-til dans son cours
"le module d'un produit est le produit des modules
l'argument d'un produit est ..." ce qui répond aussi à la question
bonne journée

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 24-02-23 à 10:34

sanantonio312 @ 24-02-2023 à 08:04


a(cos()+isin())×b(cos()+isin())=ab(cos(+)+isin(+))



Cette démonstration me permet donc d'utiliser la méthode que nous avons utilisé, mais je me demande comment est-ce que je peux rédiger pour que cela soit clair,
Est-ce que je peux rédiger comme cela :

Une forme trigonométrique de Z s'écrit |Z| = ( cos (\theta ) + i sin (\theta )) on peut également l'écrire Z = [|z| ; \theta]

On pose la démonstration suivante :
a(cos()+isin())×b(cos()+isin())=ab(cos(+)+isin(+))

On peut donc dire que le résultat du produit de deux complexes, c'est le produit des modules et la somme des arguments

Cela nous permet donc d'en déduire l'égalité suivante :
[a ; ][b; ]=[ab ; +]

Si cette rédaction est bonne, à quel moment est-ce que je dois l'écrire ?

Je vous remercie pour vos explications, elles sont très intéressantes ! Je devrai pouvoir gérer la suite de l'exercice, mais sans doute je me permettrai de venir publier mes réponses pour avoir vos avis et conseils

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 24-02-23 à 11:49

Si ton cours ne dit pas ce que malou propose:

Citation :
"le module d'un produit est le produit des modules
l'argument d'un produit est ..."
tu dois le démontrer.
L'écriture que tu proposes:
Citation :
On pose la démonstration suivante :
a(cos()+isin())×b(cos()+isin())=ab(cos(+)+isin(+))

N'est pas une démonstration du texte de malou
Il faut développer les calculs pour que ça en soit une.

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 24-02-23 à 13:53

D'accord, donc je dois travailler sur le membre de gauche pour retrouver celui de droite

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 24-02-23 à 18:02

J'ai tenté une démonstration ( en m'aidant de toutes les ressources possible ) dont je ne suis pas sûre.

On cherche à démontrer que :
a(cos (\alpha) + isin (\alpha )) \times b(cos(\beta) + isin(\beta)) = ab(cos(\alpha + \beta ) + isin (\alpha + \beta))

D'après les propriétés de multiplication des nombres complexes :
(a + bi)(c+di) = (ac-bd) + ( ad + bc)i

On peut donc développer chaque membre
Celui de gauche
a(cos (\alpha) + isin (\alpha )) \times b(cos(\beta) + isin(\beta)) = ab(cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) + i(sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)))

Celui de droite
ab(cos(\alpha + \beta ) + isin (\alpha + \beta))

On utilise les formules trigo pour remplacer cos(\alpha + \beta) et sin(\alpha + \beta) en fonction de cos(\alpha), sin(\alpha), cos(\beta), sin (\beta)

Soit
cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) \\ \\ \\ sin(\alpha+\beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)

On remplace les formules dans la partie droite de l'égalité
ab[(cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)) + i(sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta))]=ab[(cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)) + i(sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta))]  

On a donc une égalité, on réussit donc à montrer que  :
a(cos (\alpha) + isin (\alpha )) \times b(cos(\beta) + isin(\beta)) = ab(cos(\alpha + \beta ) + isin (\alpha + \beta))

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 25-02-23 à 09:59

Ca démontre en effet bien que :
le module d'un produit est le produit des modules
l'argument d'un produit est la somme des arguments

Ça n'est vraiment indiqué nulle part dans ton cours?

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 26-02-23 à 11:14

Veuillez m'excuser du temps de réponse,
J'ai bien vérifié et cela n'est pas indiqué dans mon cours

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 26-02-23 à 11:37

Bonjour,
Dans ton cours, la notation exponentielle a été introduite puisqu'elle est utilisée dans un énoncé que tu as posté dans un autre sujet :

Citation :
Soit z = e^\frac{2i\pi}{5}

2) Calculer z^5
Pourquoi ne pas l'utiliser ici ?

Utiliser cette notation revient à utiliser, sans encombrer sa mémoire, les formules comme celle-ci :
Citation :
a(cos()+isin())×b(cos()+isin())=ab(cos(+)+isin(+))

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 26-02-23 à 15:00

Merci Sylvieg.
Je n'avais pas pensé à cette notation que j'utilise pourtant bien plus que l'autre

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 27-02-23 à 17:41

Bonjour, excusez-moi du temps de réponse
Comment est-ce que je dois écrire cela sous forme exponentielle ?

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 27-02-23 à 17:48

Remplace les [;] par ei
Mais as-tu bien appris cette notation?

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 27-02-23 à 19:17

Dans mon cours il est noté :
e^{i\alpha} = cos(\alpha) + isin(\alpha)

Posté par
Pirhore : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 27-02-23 à 21:21

Bonjour,

en attendant le retour des autres répondants, tu peux écrire

\large z_1=|z_1|e^{i\alpha_1}

\large z_2=|z_2|e^{i\alpha_2}

\large z=|z|e^{i\alpha}

\large z=z_1\,z_2

en remplaçant \large z_1 et \large z_2 tu obtiendras les propriétés du produit de 2 nombres complexes

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 28-02-23 à 16:48

Bonjour,
je dois écrire cela pour la question deux où pour l'hérédité de la question 3 ?

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 28-02-23 à 17:52

L'idée est de t'en servir pour l'hérédité (dans un premier temps)
Ça t'évite ainsi le calcul que tu as détaillé le 24 à 18h02 dans le cas particulier de ton exercice.
A la question 2, rien ne t'empêche de t'en servir également
Mais as-tu bien compris les simplifications de calcul que permet cette notation exponentielle?

Posté par
lou1100re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 09-03-23 à 17:48

Bonsoir,
Veuillez-m 'excuser pour le temps de réponse, ce n'est pas correct.
J'ai finalement utilisé la technique m'évitant le long calcul détaillé
Merci pour votre aide
lou1100

Posté par
sanantonio312re : Nombres complexes d'un point de vue géométrique 13-03-23 à 16:40


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