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Nombres complexes et géométrie

Posté par
JAIMESTEVEN
18-11-24 à 08:49

Bonjour à tous et à toutes, j'ai eu des difficultés sur un exercice sur les nombres complexes où on me demande :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, vecteur u, vecteur v) , on considère le point M d'affixe z

1)Soit r la rotation de centre O et d'angle de mesure π/2 . M₁, le point d'affixe z₁; est l'image de M par r, M₂ le point d'affixe z₂ =z bare et M(indice 3) le point d'affixe z(indice 3) tel que le quadrilatère OM(indice 1)M(indice 3)M₂ soit un parallélogramme

a) Exprimer z(indice 1) en fonction de z et z(indice 3)en fonction de z

b) Justifiez que le quadrilatère OM(indice 1)M(indice 3)M₂ est nécessairement un losange.

c) Déterminer l'ensemble des points M du plan pour que le quadrilatère OM(indice 1)M(indice 3)M₂ soit un carré.

2)a) Vérifier que z'-z=(1/2)iz(indice 3)

b)En déduire que MM'=(1/2)OM(indice 3) avec z'=(1/2)(z+iz bare)

c) Démontrer que les points M; M(indice 1); M(indice 2) ;M(indice 3); appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si MM'=(1/2)OM(indice 3)

J'ai réussi à faire seulement le 1)a); le 2)a) et le 2)b). Pouvez vous me détailler la procédure à suivre pour le reste de l'exercice ? Merci !

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 09:15

Bonjour

sais-tu que tu peux mettre les indices facilement ?

Nombres complexes et géométrie

qu'as-tu trouvé comme résultats à la question 1 ? on va déjà vérifier ça ...
pour ton premier blocage, que dois-tu "ajouter" à un losange pour qu'il soit un carré ? ...

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 10:23

Merci, pour le 1)a)  je trouve z1=iz
et z3=iz+z bare

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 10:25

oui, OK
mais tu n'as pas répondu à ma dernière question, qui est la clé de la question 1c)

Citation :
pour ton premier blocage, que dois-tu "ajouter" à un losange pour qu'il soit un carré ? ...

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 10:32

Il faut que les angles des quatres côtes du losange aient une mesure de 90° (π/2)

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 10:35

t'y vas pas un peu fort là...tout ça à vérifier ?

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 10:38

Il nous faut résoudre le 1)b) avant celle du 1)c) selon la logique de l'exercice... je crois qu'on l'a ignoré

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 10:46

bien sûr

donc pour 1b) que dois-tu "ajouter" à un parallélogramme pour avoir un losange ?

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 10:51

L'égalité des côtés ?

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 10:57

si tu me réponds cela je vais te demander de démontrer l'égalité des 4 côtés...moi je veux bien ...mais ce n'est pas optimal...

essaie toujours de trouver une condition suffisante à ajouter pour obtenir ce que tu désires

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 11:05

Il suffit que les quatres côtés du parallélogramme soient égaux pour qu'il soit un losange

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 12:19

4 côtés, pourquoi pas, mais c'est encore beaucoup à mon avis...
allez, traite ta question !

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 12:28

Je te joins une hiérarchie des quadrilatères, déjà donnée sur ce site par mathafou
(à bien comprendre)

Nombres complexes et géométrie

ici, le losange est un parallélogramme avec un petit quelque chose en plus ...

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 12:33

Je trouve OM1=OM vu qu'il est obtenu par rotation de M; OM2=OM vu qu'il est obtenu par symétrique de M par rapport à l'axe réel ; et OM3=OM1=OM car M3 est obtenu de tel sorte que OM1M3M2 soit un parallélogramme

En résumé on a :
OM1=OM2=OM3=OM

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 13:14

JAIMESTEVEN @ 18-11-2024 à 12:33

Je trouve OM1=OM vu qu'il est obtenu par rotation de M; exact OM2=OM vu qu'il est obtenu par symétrique de M par rapport à l'axe réel exact ; et OM3=OM1=OM car M3 est obtenu de tel sorte que OM1M3M2 soit un parallélogramme faux

En résumé on a :
OM1=OM2=OM3=OM

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 13:18

Est ce que cela suffit à dire que OM1M3M2 est un losange ?

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 13:22

d'après toi ? quel raisonnement te permet de le dire ?

des maths ce sont des raisonnements et si besoin des calculs, mais tu ne peux pas affirmer, tu dois démontrer

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 15:34

De ce qui précède OM1=OM2 peut-on dire directement que le parallélogramme OM1M3M2 est nécessairement un losange ?

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 15:36

oui, car tu as vu au collège qu'un parallélogramme qui avait deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
C'est cette phrase qu'on attend.

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 15:40

Merci c'est compris pour la question 1)b) , nous pouvons passer à la question 1)c)

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 15:44

Citation :
que dois-tu "ajouter" à un losange pour qu'il soit un carré ? ...


même chose, au plus court, avec un raisonnement ...

je ne sais pas si je vais pouvoir encore t'accompagner longtemps, car suis occupée...éventuellement, quelqu'un d'autre prendra la relève (ou je reviendrai voir plus tard)

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 15:51

Il faut que les quatres côtés forment des angles droits pour le losange soit un parallélogramme.

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 15:52

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 15:55

Je ne me fais pas comprendre ? Je veux dire qu'il manque seulement les angles droits au niveau des côtes du losange pour qu'il soit un carré.


Excusez moi, mais vous allez vous absenter pour combien de temps ?

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 15:57

et donc tu penses vraiment que tu vas avoir besoin de 4 angles droits ?? réfléchis un peu ...

que mon absence ne t'arrête pas, quelqu'un va prendre le relais, c'est habituel chez nous...avance et écris ce que tu trouves

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 16:01

Ou qu'il faut que un seul côté forme un angle droit ?

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 16:08

2 côtés perpendiculaires, oui
ce sera suffisant

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 16:39

Mais là on veut l'ensemble des points M du plan pour que le quadrilatère OM1M3M2 soit un carré . Comment on doit procéder dans ce cas ?

Posté par
malou Webmaster
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 17:02

M est connu par son affixe z, ou ses coordonnées (x,y) en posant z=x+iy

tu vas devoir écrire qu'un certain angle est droit avec une méthode que tu connais et tu vas trouver une (des) condition(s) qui vont te dire où peut se trouver M

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 17:14

Mais là il n'y a pas de relation avec M car il s'agit du quadrilatère OM1M3M2. Comment on va trouver une relation avec M

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 17:51

bonjour,
mais z1, z2 et z3 s'écrivent en fonction de z (question 1)
donc une relation entre z1 et z2 par exemple est une équation en z !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 17:52

question a

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 18:08

malou @ 18-11-2024 à 16:08

2 côtés perpendiculaires, oui
ce sera suffisant


Bonjour mais quelle sera la relation pour que deux côtés soient perpendiculaires ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 18:16

orthogonaux et de même module = multiplication par i

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 18:24

Il s'agit de deux côtés, on devrait prendre deux angles du quadrilatère OM1M3M2 si je ne me trompe pas.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 18:35

deux côtés = un angle
il suffit que les vecteurs OM1 et OM2 soient orthogonaux
et on traduit ça sur les affixes de ces vecteurs c'est à dire sur les affixes de M1 et M2,
comme j'ai dit vu que on sait déja qu'ils ont même norme (losange)

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 18:55

Donc on aura vecteur OM1 scalaire vecteur OM2 =0

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 19:08

oui, si on veut.
mais ici c'est plus simple de dire que M1 est image de M2 par rotation de 90° de centre O
parce que ça se traduit directement et instantanément sur les affixes

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 19:14

Et quel sera donc l'ensemble des points M ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 19:18

pourquoi brules tu les étapes ??
quelle relation trouves tu pour z ?

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 19:28

Donc on aura arg(z1/z2)=π/2(kπ) k€ Z

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 19:47

certes....
là encore c'est pourquoi faire simple (ce que je t'ai dit) quand on peut faire compliqué (ce que tu proposes)
on a immédiatement la relation très simple z_1=\pm i z_2
à écrire en termes de z vu que par définition z_1 = i z, \; z_2 = \bar{z}

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 19:53

Merci de m'avoir éclairci un peu plus,  mais je ne comprend pas la relation z1=±iz. Pouvez détailler encore plus ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 19:59

mathafou @ 18-11-2024 à 19:08

M1 est image de M2 par rotation de 90° de centre O
parce que ça se traduit directement et instantanément sur les affixes
par  z_1=\pm i z_{\red 2} (pas iz)

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 20:10

Donc l'ensemble des points M est la rotation de centre O et d'angle π/2 ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 20:26

un ensemble de points n'est pas une opération !
le quadrilatère sera un carré si z_1=\pm i z_2
c'est à dire compte tenu des définitions (question a) de z1 et z2 :  i z = \pm i \bar{z}
ou encore z=\pm \bar{z}
quel est l'ensemble des points dont les affixes satisfont z = \bar{z} ?
et celui pour z = -\bar{z} ?
l'ensemble cherché est la réunion de ces deux ensembles.

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 20:35

Donc l'ensemble des points est la réunion des réels et des imaginaires

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 20:50

pas tout à fait
un ensemble de points n'est pas un ensemble de nombres
c'est l'ensemble des points dont les affixes sont les nombres réels et les imaginaires, oui.
ce qui donne deux droites
lesquelles ?

à une question "quel est l'ensemble des points tels que etc", on attend une réponse sous forme géométrique :
droites, segments de droites, cercles ou arcs de cercles, paraboles etc ou "quelques" points isolés, ou sauf quelques points isolés

Posté par
JAIMESTEVEN
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 20:53

Donc l'ensemble des points est la réunion de l'axe des réels et des imaginaires

Posté par
mathafou Moderateur
re : Nombres complexes et géométrie 18-11-24 à 20:57

voila.

question 2 : énoncé incomplet , on ne sait pas ce que sont M' et z'

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