Bonjour à tous et à toutes, j'ai eu des difficultés sur un exercice sur les nombres complexes où on me demande :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, vecteur u, vecteur v) , on considère le point M d'affixe z
1)Soit r la rotation de centre O et d'angle de mesure π/2 . M₁, le point d'affixe z₁; est l'image de M par r, M₂ le point d'affixe z₂ =z bare et M(indice 3) le point d'affixe z(indice 3) tel que le quadrilatère OM(indice 1)M(indice 3)M₂ soit un parallélogramme
a) Exprimer z(indice 1) en fonction de z et z(indice 3)en fonction de z
b) Justifiez que le quadrilatère OM(indice 1)M(indice 3)M₂ est nécessairement un losange.
c) Déterminer l'ensemble des points M du plan pour que le quadrilatère OM(indice 1)M(indice 3)M₂ soit un carré.
2)a) Vérifier que z'-z=(1/2)iz(indice 3)
b)En déduire que MM'=(1/2)OM(indice 3) avec z'=(1/2)(z+iz bare)
c) Démontrer que les points M; M(indice 1); M(indice 2) ;M(indice 3); appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si MM'=(1/2)OM(indice 3)
J'ai réussi à faire seulement le 1)a); le 2)a) et le 2)b). Pouvez vous me détailler la procédure à suivre pour le reste de l'exercice ? Merci !
Bonjour
sais-tu que tu peux mettre les indices facilement ?
qu'as-tu trouvé comme résultats à la question 1 ? on va déjà vérifier ça ...
pour ton premier blocage, que dois-tu "ajouter" à un losange pour qu'il soit un carré ? ...
oui, OK
mais tu n'as pas répondu à ma dernière question, qui est la clé de la question 1c)
Il nous faut résoudre le 1)b) avant celle du 1)c) selon la logique de l'exercice... je crois qu'on l'a ignoré
si tu me réponds cela je vais te demander de démontrer l'égalité des 4 côtés...moi je veux bien ...mais ce n'est pas optimal...
essaie toujours de trouver une condition suffisante à ajouter pour obtenir ce que tu désires
Je te joins une hiérarchie des quadrilatères, déjà donnée sur ce site par mathafou
(à bien comprendre)
ici, le losange est un parallélogramme avec un petit quelque chose en plus ...
Je trouve OM1=OM vu qu'il est obtenu par rotation de M; OM2=OM vu qu'il est obtenu par symétrique de M par rapport à l'axe réel ; et OM3=OM1=OM car M3 est obtenu de tel sorte que OM1M3M2 soit un parallélogramme
En résumé on a :
OM1=OM2=OM3=OM
d'après toi ? quel raisonnement te permet de le dire ?
des maths ce sont des raisonnements et si besoin des calculs, mais tu ne peux pas affirmer, tu dois démontrer
De ce qui précède OM1=OM2 peut-on dire directement que le parallélogramme OM1M3M2 est nécessairement un losange ?
oui, car tu as vu au collège qu'un parallélogramme qui avait deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
C'est cette phrase qu'on attend.
Je ne me fais pas comprendre ? Je veux dire qu'il manque seulement les angles droits au niveau des côtes du losange pour qu'il soit un carré.
Excusez moi, mais vous allez vous absenter pour combien de temps ?
et donc tu penses vraiment que tu vas avoir besoin de 4 angles droits ?? réfléchis un peu ...
que mon absence ne t'arrête pas, quelqu'un va prendre le relais, c'est habituel chez nous...avance et écris ce que tu trouves
Mais là on veut l'ensemble des points M du plan pour que le quadrilatère OM1M3M2 soit un carré . Comment on doit procéder dans ce cas ?
M est connu par son affixe z, ou ses coordonnées (x,y) en posant z=x+iy
tu vas devoir écrire qu'un certain angle est droit avec une méthode que tu connais et tu vas trouver une (des) condition(s) qui vont te dire où peut se trouver M
Mais là il n'y a pas de relation avec M car il s'agit du quadrilatère OM1M3M2. Comment on va trouver une relation avec M
bonjour,
mais z1, z2 et z3 s'écrivent en fonction de z (question 1)
donc une relation entre z1 et z2 par exemple est une équation en z !
Il s'agit de deux côtés, on devrait prendre deux angles du quadrilatère OM1M3M2 si je ne me trompe pas.
deux côtés = un angle
il suffit que les vecteurs OM1 et OM2 soient orthogonaux
et on traduit ça sur les affixes de ces vecteurs c'est à dire sur les affixes de M1 et M2,
comme j'ai dit vu que on sait déja qu'ils ont même norme (losange)
oui, si on veut.
mais ici c'est plus simple de dire que M1 est image de M2 par rotation de 90° de centre O
parce que ça se traduit directement et instantanément sur les affixes
certes....
là encore c'est pourquoi faire simple (ce que je t'ai dit) quand on peut faire compliqué (ce que tu proposes)
on a immédiatement la relation très simple
à écrire en termes de z vu que par définition
Merci de m'avoir éclairci un peu plus, mais je ne comprend pas la relation z1=±iz. Pouvez détailler encore plus ?
un ensemble de points n'est pas une opération !
le quadrilatère sera un carré si
c'est à dire compte tenu des définitions (question a) de z1 et z2 :
ou encore
quel est l'ensemble des points dont les affixes satisfont ?
et celui pour ?
l'ensemble cherché est la réunion de ces deux ensembles.
pas tout à fait
un ensemble de points n'est pas un ensemble de nombres
c'est l'ensemble des points dont les affixes sont les nombres réels et les imaginaires, oui.
ce qui donne deux droites
lesquelles ?
à une question "quel est l'ensemble des points tels que etc", on attend une réponse sous forme géométrique :
droites, segments de droites, cercles ou arcs de cercles, paraboles etc ou "quelques" points isolés, ou sauf quelques points isolés
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