Bonjour,

pour éviter d'écrire des expressions à rallonge, on peut poser a = 1/2 + i(√3/2)
on a ainsi
on vérifiera que et que pour simplifier les calculs ...

salut

si on note f la fonction z --> z' alors si s(M) = M' alors f(z) = z'

donc il te faut calculer f(z') ... pour retrouver z

les calculs sont fastidieux donc prendre un brouillon et faire les calculs proprement !!




remarquer qu'en notant w = 1/2 + i3 /2 et en notant z* le conjugué de z alors f(z) = wz* + w*

les calculs sont alors plus simples ...

Ah d'accord, expliqué de cette manière c'est plus clair ! Je vous remercie.

Si je reprends la même notation que vous, j'obtiens:

f(z')= wz'* + w*
        = (1/2 + i3 /2) (1/2 - i3 /2) z + 1/2 + i3 /2 + 1/2 - i3/2

Cependant, il y a une erreur car je trouve z + 1/2 au lieu de z. J'ai beau me relire je n'arrive pas à la trouver

je trouve f(z') = z + 1 plutôt

avant de remplacer par les valeur numérique commence par remplacer z' par wz* + w* puisque z' = f(z) = wz* + w*

remplacer immédiatement w par sa valeur ne fait rien gagner du tout

l'intérêt est de laisser w écrit w le plus longtemps possible
voire même jusqu'à la fin de la fin !!

et de tenir compte de ma remarque
c'est à dire de calculer à part w² et ww*
pour pouvoir simplifier en termes de w, écrits w et pas des trucs affreux avec des racines carrées !

Mais je ne comprends pas pourquoi remplacer z' car comme:

f(z) = wz*+w* alors f(z')=wz'* + w*
                                                    =ww*z+ww*
                                                    =z + 1

des parenthèses évitent de faire des erreurs


le développement correct de ça ne donne pas ce que tu obtiens

et pour mettre les points sur les i :

Ah d'accord je comprends mieux. J'ai réussi à trouver le bon résultat, je vous remercie !

Bien.

et pour la question suivante, même principe (avec w )

as tu réussi à terminer ?

pour jouer avec cette transformation une appli Géogebra qui trace z' pour un z déplaçable
la formule tapée pour cela dans la zone de saisie de Géogébra est la pure définition : m' = a conjugué(m) + conjugué(a)
les points s'appellent m et m' , z est juste une étiquette

Geogebra



on conjecture (et on peut démontrer, même si on ne le demande pas dans l'exo) que la transformation f est la symétrie par rapport à la droite
et donc en effet (mais ce n'est pas comme ça qu'on demande de le démontrer !) f(f(z))=z et le milieu de z et z'=f(z) est invariant par f, comme tous les points de d'ailleurs.

Bonjour à tous, je vous souhaite avant tout une belle année !

Pour en revenir à l'exercice, pour la question c:
j'en ai déduit que l'affixe de I notée z_I =


Votre dernier message m'a permis de me rendre compte que j'avais oublié de poster une moitié de l'exercice qui est en accord avec vos remarques. La voici:

d) On note x + iy et x′ + iy′
les formes algébriques respectives de z_M et z_M' .
Montrer que l'on a :




e)  On dit que M est un point invariant si et seulement si M = M′
Montrer que l'ensemble des points invariants est une droite dont on donnera une équation cartésienne.

On la note (d).

6. Montrer que les droites (MM′) et (d) sont perpendiculaires.
7. Quelle est la nature de f ?

plutôt pour la question c*

merci et à toi aussi ...

et alors ? où en es-tu ?

J'en suis à la question c:


Est-ce bien correct?

Le tout divisé par 2*

bonne année

que vient faire w ? et il faut diviser par 2



ensuite on applique f à ça pour calculer
en mettant bien les parenthèses au départ quand on remplace par sa valeur ci dessus
et il faudra vérifier que le résultat est identique à

w = 1/2 + i3 /2 (c'était un conseil de carpediem pour ne pas avoir de calculs à rallonge)

Je ne comprends pas comment on applique f pour calculer f(Z_I)

pour tout u :
u = trucmuche, expression plus ou moins compliquée


avec les parenthèses pour ne pas rater le développement comme quand tu avais calculé f(z') au début

ça se fait ce genre de substitution par copier-coller au traitement de texte
à la main, en recopiant exactement caractère par caractère ce qui compose "trucmuche", en le mettant par sécurité entre parenthèses

ensuite on développe, simplifie regroupe judicieusement les termes etc pour aboutir à ce qu'on cherche à obtenir.

message oublié :
"c'était un conseil de carpediem"
j'avais donné exactement le même en appelant ça "a"

maintenant si tu préfères te traîner des expressions gigantesques à la place de cette simplification d'écriture, libre à toi .. et bon courage ...

et le conseil n'était pas ça ...

mathafou et moi-même avons introduit des notations pour ( le conseil est) se simplifier les calculs !!

Je dois donc montrer que f(z_I) = z_i ?

avec z_i : l'affixe de l'image du point I et z_I l'affixe du point I

ben oui et on fait tous les calculs avec w au lieu de cette expression 1/2 + i ...

D'accord, j'obtiens donc:

f(z_I)=

Je ne retrouve pas le même résultat à cause d'une erreur de calcul, mais je ne parviens pas à la trouver

Je viens de trouver mon erreur, j'ai écrit au lieu de 2. Je retrouve le bon résultat.

Bonjour

je prends le train en marche, mais je dois pouvoir te dépanner

tu as M(z) et M'(z')
avec
z′ = (1/2 + i(√3/2) z barre + 1/2 - i(√3)/2
tu poses z= x+iy
et z'=x'+iy'
tu remplaces
tu développes tout dans le membre de droite
puis tu dis que les parties réelles sont égales, ainsi que les parties imaginaires
ce n'est pas compliqué mais c'est calculatoire

ben maintenant il faut se farcir les calculs avec les expressions algébriques de tous les nombres complexes :

x' + iy' = z' = f(z) = f(x + iy) = ...

et identifier partie réelle et partie imaginaire ...

Quand je calcule, j'obtiens:

x'+iy'=wz barre + w barre

Mais, à la fin je trouve des résultats avec z barre, comment faire ?

si z=x+iy
que vaut ? et tu le remplaces aussi

En relisant bien vos messages, je vais plutôt calculer:

        f(x+iy)= w(x+iy)+w barre
x'+iy'= ...

et qu'attends-tu pour remplacer w par sa valeur ? ... et poursuivre les calculs ...

Oui, je les ai déjà réalisé et j'ai retrouvé les bons résultats.

Pour la question e,

dois-je utiliser le point I étant donné qu'il est invariant

non
pour la e on utilise le résultat de la d
on écrit avec ça que x = x' et que y = y'
et donc y en fonction de x pour l'ensemble des points invariants.

Je suis désolée, mais je ne pense pas avoir compris.

          On pose:                                                                                y' = y
          donc: (3 /2)x (-1/2)y- 3/2-y=0
équivalent à: (3 /2)x (-3/2)y- 3/2 =0

On retrouve une équation cartésienne :
a= (3/2) b=-3/2 c= -3/2
    

Lorsque je la calcule en posant y'=y j'obtiens:

x-3y-1=0

en posant x'=x:

-x+3y + 1 =0 soit (si je multiplie tout par moins 1:
x-3y-1=0

-> Je vous remercie

oui, voilà
tu connais donc maintenant l'ensemble des points invariants

pour la question suivantes dois-je utiliser le produit scalaire et montrer que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux?

Si trouve calcule le vecteur étant directeur de (MM') puis en utilisant l'équation de la droite (d)  je trouve le vecteur directeur (d-> = -b ; a)

oui tu peux ...

Calculons :

=

= (-3;1)

[tex]\parallel \vec{d},\vec{MM'}\parallel =(-1/2) * (-3) -1+3/2 = -1 + 3

le vecteur MM4 doit dépendre de x et y !!



x' - x = ... (en fonction de x et y)
y' - y = ... (en fonction de x et y)

x'-x = 1/2 x + 3/2y +1/2 - x
         = -(1/2)x + 3/2y + 1/2

y'-y = 3/2x - 1/2y - 3/2 - y
          =  3/2x - 3/2y - 3/2