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Niveau Maths sup
NOMBRES COMPLEXES - probleme
Posté par theodalu
Bonjour,
je bloque sur la premiere question du dernier exercice de mon DM.Pourriez vous m'aider?
Soit l'equation (E): z²-2pz+1=0, où p 
C donné. On designe par z1 et z2 les racines de cette equation.
1) on suppose dans cette question que p=ei
où ]0;
[
a) calculer z2 et z2.
b) Determiner les modules et les arguments de z1-p et z2-p
c)Montrez quz z1+i et z2+i ont le meme argument que l'on calculera, et que z1-i et z2-i ont le meme module que l'on calculera.
En cherchant le discriminant pour la premiere question je trouve
=4p2-4
il faut ensuite chercher un complexe 
tel que =2 pour trouver les 2 solutions z1 et z2.
je n'arrive pas a trouver de forme trigonometrique pour
et c'est la que je bloque. Pourriez vous m'aider?
bonsoir
Sauf erreur, ton delta s'exprime en 8sin(t)( cos(t+pi/2) + isin(t+pi/2) ) = 8sint.e^i(t+pi/2)
ce qui doit pouvoir répondre à b) en prenant la racine
vérifier s'il n'y a pas d'erreur de calcul
Rudy
Bonjour
l'autre façon de faire est plus simple :
z²-2pz+1 = (z-p)²+1-p² = 0
z1 = p + racine(e^i2t -1)
z2 = p - racine(e^i2t -1)
simplifie racine(e^i2t -1) en faisant intervenir les fonctions trigo en t
SVP, donne la suite de cet exo intéressant
Rudy
Merci, la premiere methode marche effectivement,
je trouve alors
z1=p+e^(i*(t/2))*(1+i)*(sint)^(1/2)
et z2 de la meme maniere
Cependant je crois que la 2e methode ne marche puisque l'on ne peut pas ecrire la racine carree d'un nombre complexe (la fonction racine carree etant definie sur R+)
Et je ne vois pas comment vous passez de z²-2pz+1 = (z-p)²+1-p² = 0
a
z1 = p + racine(e^i2t -1)
z2 = p - racine(e^i2t -1)
je trouve ensuite
module(z1-p) =(2.sint)^(1/2)
module(z2-p) =(2.sint)^(1/2)
arg(z1-p) = (5pi+2t)/4
arg(z2-p) = (pi+2t)/4
z²-2pz+1 = (z-p)²+1-p² = 0
(z=p)²-(p²-1)=0
p²-1 = e^i2t-1=cos2t+isin2t -1 = (cos2t-1)+2isintcost = -2sin²t+2isintcost = 2sint(-sint+icost) = 2sint(cos(t+pi/2)+isin(t+pi/2) = 2sint.e^i(t+pi/2)
comme 0<t<pi alors sint>0 et donc 2sint peut être un module
p²-1 = ( racine(2sint).e^(t/2+pi/4) )²
z1 = p + racine(2sint).e^(t/2+pi/4) => z1-p = racine(2sint).e^(t/2+pi/4) = ( racine(2sint) ; t/2+pi/4 )
z2 = p - racine(2sint).e^(t/2+pi/4) => z2-p = -racine(2sint).e^(t/2+pi/4) = ( racine(2sint) ; t/2+pi/4+pi )
Sauf erreur
Rudy
merci
je trouve ca effectivement.
alors pour la suite,
traduire geometriquement ces 2 resultats
et
en deduire une construction geometrique simple des points M1 M2 en fonction de P
Avec M1(z1), M2(z2), P(p)
bonsoir à vous et pardon d'intervenir... mais
Citation :
racine(e^i2t -1)
racine(e^i2t -1)
est un non-sens
le symbole racine ne s'utilise qu'avec des nombres réels positifs
Bonjour MatheuxMatou et theodalu
La formulation en racine carrée est "osée" mais résume celle-ci :
On cherche la "racine carrée" de
c'est-à-dire z tel que :
donnant les valeurs complexes a et b
Au lieu de passer en x+iy, on pose
soit
Puisque 0<t<pi, sin(t) est positif et donc, a et b ont pour module :
et pour arguments respectifs :
et
Rudy