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nombres complexes, question aussi complexe...

Posté par fatiha (invité) 07-11-07 à 19:30

bonjour a tous je suis etudiante en licence1 et jai un petit probleme en mathematiques, si quelqu'un peut m'aider ce serait trés gentil. merci d'avance.
voici l'enoncé:

Citation :
Soit n un entier naturel non nul.

Donner toutes les solutions complexes de z^n=1 en coordonnées polaires.
c'est la première question de l'exercice qui me bloque...

Posté par
Skopsre : nombres complexes, question aussi complexe... 07-11-07 à 20:08

Bonsoir,

Les solutions de l'équation 4$z^n=1 sont les nombres de la forme 4$e^{\frac{2ki\pi}{n} avec k\in [|0;n-1|]

Skops

Posté par fatiha (invité)re : nombres complexes, question aussi complexe... 08-11-07 à 21:58

merci beaucoup mais comment on trouve ce resultat??

Posté par
Skopsre : nombres complexes, question aussi complexe... 08-11-07 à 22:03

Heu c'est du cours

Tu veux la démo ?

Skops

Posté par
gui_toure : nombres complexes, question aussi complexe... 08-11-07 à 22:04

Bonsoir



Oh oui Skops une démo

Posté par
Skopsre : nombres complexes, question aussi complexe... 08-11-07 à 22:06

Bah maintenant que je la sais ^^


Skops

Posté par
Skopsre : nombres complexes, question aussi complexe... 08-11-07 à 22:44

Démonstration :

L'équation 5$\red\fbox{z^n=1} admet n solutions dans 4$\mathbb{C} de la forme 5$\blue\fbox{z=e^{\frac{2ki\pi}{n}} avec 5$\blue k\in\mathbb{[}0;n-1\mathbb{]}

Analyse : Soit z, une solution

On a alors 5$z^n=1

z s'écrit sous la forme 5$re^{i\theta}

Donc 5$\red z^n=1\Leftrightarrow (re^{i\theta})^n=1\Leftrightarrow r^ne^{in\theta}=1

Mais 1 s'écrit aussi 5$e^{i0}

On a alors 5$\green\fbox{r^ne^{in\theta}=e^{i0}}

Or, deux complexes sont égaux ssi leur module sont égaux et leur argument sont égaux

5$\{r^n=1\\n \theta=0[2\pi]

5$\blue\fbox{\{r=1\\\theta=0[\frac{2\pi}{n}]}

Il existe bien sûr, une infinité de solution pour 5$\theta mais il y a seulement n valeurs de 5$\theta distinctes sur l'intervalle 5$[0;2\pi[

Donc n valeurs possibles pour z

Les solutions sont donc de la forme 5$\blue\fbox{z=e^{\frac{2ki\pi}{n}} avec 5$\blue k\in\mathbb{[}0;n-1\mathbb{]}

Synthèse : On vérifie que 5$z=e^{\frac{2ki\pi}{n} avec 5$k\in\mathbb{[}0;n-1\mathbb{]} est solution

5$\fbox{\green (e^{\frac{2ki\pi}{n})^n=e^{2ki\pi}=1}

Conclusion : 6$\fbox{\rm \magenta Les racines n-iemes de l'unite\\ sont les nombres de la forme z=e^{\frac{2ki\pi}{n} avec k\in\mathbb{[}0;n-1\mathbb{]}}

Posté par
Skopsre : nombres complexes, question aussi complexe... 08-11-07 à 22:45

Skops

()

Posté par
gui_toure : nombres complexes, question aussi complexe... 09-11-07 à 19:43

Joli

Posté par
jeansebre : nombres complexes, question aussi complexe... 09-11-07 à 19:54

15$\rm \red \fbox{{La classe, Skops!lol!}}

Posté par
Skopsre : nombres complexes, question aussi complexe... 09-11-07 à 20:06

Merci

Skops

Posté par fatiha (invité)re : nombres complexes, question aussi complexe... 11-11-07 à 17:00

je ne sai pa comment vous remercier pour votre aide aussi précieuse.
MERCI BEAUCOUP!!!

a la prochaine j'espère

Posté par
Skopsre : nombres complexes, question aussi complexe... 11-11-07 à 17:07

De rien

Skops

Posté par
gui_toure : nombres complexes, question aussi complexe... 11-11-07 à 17:12

Citation :
De rien


Quel modeste

Posté par fatiha (invité)re : nombres complexes, question aussi complexe... 12-11-07 à 21:08

bonsoir a tous

je vois que ce pbm interesse kelkes persones donc voici la suite:

2/ Soit § une solution complexe de z^n=1. Montrer que §(barre) = 1/§.

3/ soit § diféren de 1. Montrer que on a (somme de k=0 a n-1) de §^k=0.

INDICATION: ne pas faire une recurrence sur n. Pensez plutot a multiplier l'equation avec §.

jai repondu a la 2/ mai la 3/, jai limpression de tourner en rond.
MERCI

Posté par
Crevettre : nombres complexes, question aussi complexe... 12-11-07 à 21:14

Bonsoir!
Ta somme, c'est la somme des termes d'une suite de raison §... donc c'est égal à (1-§^n)/(1-§)=0.

Posté par fatiha (invité)re : nombres complexes, question aussi complexe... 12-11-07 à 21:38

oui sa veu donc dire ke §^n=1 cétai la condition de base mais jai limpression de tourner en rond.

Posté par
Crevettre : nombres complexes, question aussi complexe... 12-11-07 à 21:48

Ben la somme des termes de la suite de raison § est égale à (1-§^n)/(1-§). Or tu viens de prouver que § est une solution complexe de z^n=1 donc §^n=1. C'est pour ça que la somme est égale à 0.
Je vois pas en quoi ça "tourne en rond"^^

Posté par fatiha (invité)re : nombres complexes, question aussi complexe... 12-11-07 à 22:16

non c pa sa mais moi je le voyai plus compliké ke sa, javai limpression ke sa mankait de rigueur, mais c tt a fait juste.
MERCI BOCOU

Posté par
jeansebre : nombres complexes, question aussi complexe... 12-11-07 à 22:30

Bonsoir

> Fatiha: en principe, on n'écrit pas en SMS sur le forum...

Posté par
Crevettre : nombres complexes, question aussi complexe... 12-11-07 à 22:34

De rien...mais j'approuve: pour le langage SMS, évite à l'avenir

Posté par aurelien03 (invité)re : nombres complexes, question aussi complexe... 12-11-07 à 23:32

Et est ce que quelqu'un peut répondre à la 2ème question alors? Parce que j'ai le même problème et ca me pose souci...

Posté par fatiha (invité)re : nombres complexes, question aussi complexe... 13-11-07 à 14:09

Encore désolée  pour mon langage un peu sms, je n'ai pa du tout fait attention. Quand j'ai un clavier je vais vite et intuitivement j'ecris ainsi.
A l'avenir j'eviterai. Merci.


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