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Nombres complexes TS

Posté par
Solid-Snake
02-10-10 à 15:13

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice je ne sais pas comment m'y prendre, alors voici l'exercice:
"A tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe Z défini par: Z= (z-1+2i)/(z-i) et z différent de i.
1) Calculer Z pour, successivement z=1 et z=1-i.
Donc sa je l'ai fait, j'ai trouvé respectivement Z=i et Z=(i-2)/5.
2)On pose é=x+iy et Z=X+iY (x,y,X et Y sont des réels.)
     a) Déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z tel que Z soit un réel.
     b) Déterminer l'ensemble F des points M d'affixe z tel que Z soit un imaginaire pur.
     c) Représenter les ensembles E et F dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O;u,v).
Donc je sais pas comment faire le a).
Merci d'avance à tous ceux qui voudront bien m'aider.

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 15:16

bonjour

1) tu as faux..

Posté par
Solid-Snake
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 15:28

Ah oui, Z=(2i)/(1-i) et Z=(i)/(1-2i).

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 15:30

oui.. donne la forme algébrique de Z pour z = 1
et z = 1 - i
...

Posté par
Solid-Snake
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 16:19

La forme algébrique ?: Z=(1-1+2i)/(1-i)            
                       Z=(1-i-1+2i)/(1-i-i)

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 16:20

non..

regarde ton cour..!

forme algébrique c'est z = x + iy

(pas de i au dénominateur, tu dois bien savoir comment enlever un i au dénominateur non ?)

Posté par
Solid-Snake
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 16:44

Ah oui, alors pour z=1, Z= (2i-2)/2
et pour z=1-i,  Z= (i-2)/(3)

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 16:50

4$ \rm Z = \frac{z - 1 + 2i}{z - i}
 \\ 
 \\ ** pour z = 1, \, Z = \frac{1 - 1 + 2i}{1 - i} = \frac{2i - 2}{2} = -1 + i
 \\ 
 \\ ** pour z = 1 - i, \, Z = \frac{1 - i - 1 + 2i}{1 - i - i} = \frac{i(1 + 2i)}{1 + 4} = -\frac{2}{5} + i\frac{1}{5}

t'es ok ?

Posté par
Solid-Snake
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 17:16

Oui, sauf pour la dernière, je n'arrive pas à comprendre comment on passe de i(1+2i)/(1+4) à -2/5+(1/5)i

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 17:37

4$ \rm pour z = 1 - i, \, Z = \frac{1 - i - 1 + 2i}{1 - i - i} = \frac{i}{1 - 2i}
 \\ = \frac{i(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{-2 + i}{1 + 2i - 2i - 4i^2}
 \\ = \frac{-2 + i}{5} = -\frac{2}{5} + i\frac{1}{5}

là c'est bon ou toujours pas ?

Posté par
Solid-Snake
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 17:49

Oui, là c'est bon.

Posté par
delpiero
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 17:53

la reponse de MDR_non(i²=-1) mais pr 2)a) Solid snake vous faites Z=Z bare

Posté par
delpiero
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 17:56

pour b) vous faites Z=-Z bare c'est tt aprés vous les représenter dans un repère :p

Posté par
Solid-Snake
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 18:15

Merci pour vos réponses, Z bar=x-iy, il faut donc que je fasse ((x+iy)-1+2i)/((x+iy)-i) = ((x-iy)-1-2i)/((x-iy)+i) ?
Puis mettre tous les i et les y d'un cotés et le reste de l'autre ?

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 18:42

ou lah ... moi je trouve ça trop long

je te conseille de mettre Z sous forme algébrique.

Z est réel Im(Z) = 0
Z est imaginaire pur Re(Z) = 0

Posté par
Solid-Snake
re : Nombres complexes TS 02-10-10 à 19:40

Z est réel <==> Im(Z) = 0
Donc après développement de Z j'ai Z= ((x-1+i(y+2))/((x+i(y-1)), comment j'ai pour "extraire" la partie imaginaire ? Et comment je répond à la consigne avec le résultat ?
Encore merci pour vos réponses !!

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 03-10-10 à 04:05

d'ailleurs même la consigne de l'exercice te propose de le faire..

Citation :
2)On pose é=x+iy et Z=X+iY (x,y,X et Y sont des réels.)


il faut que tu mettes Z sous forme algébrique.
tu sais (regarde ton cours) que un complexe sous forme algébrique est de la forme
z = x + iy
x : partie réelle
y : partie imaginaire


Citation :
Donc après développement de Z j'ai Z= ((x-1+i(y+2))/((x+i(y-1))...


c'est faux.. je répète ce que j'avais déjà dis plus haut.. (un complexe sous forme algébrique ne DOIT PAS AVOIR de i au dénominateur..
débrouilles toi pour l'enlever.. (en cour tu as appris ce qu'est le conjugué)

-------------------
Exemple :  Imaginons un instant qu'on ait un nombre complexe
Z1 = [6x + y² + 2 + i(5x + 3)]/(x² + y² + 1)

Ici la partie réelle de Z1 qu'on note Re(Z1) = (6x + y² + 2)/(x² + y² + 1)
"c'est toute la partie du complexe qui n'a pas de 'i'  "

la partie imaginaire que l'on note Im(Z1) = (5x + 3)/(x² + y² + 1)
"c'est toute la partie qui étais accompagné de 'i' "

Dans la pratique (des exercices) on dit que Z1 est de la forme
Z1 = X + iY
avec X (la partie réelle) X = (6x + y² + 2)/(x² + y² + 1)
et Y (la partie imaginaire) Y = (5x + 3)/(x² + y² + 1)
---------------------

tu comprends ?

Posté par
Solid-Snake
re : Nombres complexes TS 03-10-10 à 13:47

Merci d'avoir répondu
Oui je crois, donc j'ai fait: Z=(z-1+2i)/(z-i).  
Donc forme algérbrique: Z= (x+iy-1+2i)/(x+iy-i)=  ((x-1+i(y+2))(x-iy-i))/((x+(iy-i))(x-(iy-i))=...
=(x(x-1)+i(-xy-x+y+1+yx+2x)+(y+2)(y+1))/(x²+y²-2y-1)
Donc: Im(Z)= (-xy-x+y+1+yx+2x)/(x²+y(y-2)-1)
      Re(Z)= (x(x-1)+(y+2)(y+1))/(x²+y(y-2)-1)
Donc voila, parce contre je sais pas comment répondre à la consigne avec sa, j'écrit:
2a) Pour que Z soit réel l'ensemble Im(Z) doit être nul.
b) Pour que Z soit immaginaire l'ensemble Re(Z) doit être nul.

Et pour la c) je sais pas comment du tout représenter ce que j'ai.
Merci pour vos réponses !
P.S: "2)On pose é=x+iy et Z=X+iY (x,y,X et Y sont des réels.)" j'ai fait une faute de frappe, ce n'est pas "é" mais "z=x+iy".

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 03-10-10 à 14:45

Citation :
(x(x-1)+i(-xy-x+y+1+yx+2x)+(y+2)(y+1))/(x²+y²-2y-1)


non...
revois tes calculs...

2i² = -2 ...

et puis n'essaye pas de factoriser comme tu l'as fais... ça n'aidera pas nos calculs..

Citation :
2a) Pour que Z soit réel l'ensemble Im(Z) doit être nul.
b) Pour que Z soit imaginaire l'ensemble Re(Z) doit être nul.


oui (c'est ce genre de rédaction), tu écris ça ET tu résous !...

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 03-10-10 à 16:24

tiens on t'a rattrapé sur un autre topic Nombres complexes

4$ \rm Z = \frac{z - 1 + 2i}{z - i} = \frac{(z - 1 + 2i)(\bar{z - i})}{(z - i)(\bar{z - i})} = \frac{(z - 1 + 2i)(\bar{z} + i)}{(z - i)(\bar{z} + i)} \\ \\ Le denominateur: \\ \\ (z - i)(\bar{z} + i) = z.\bar{z} + i(x + iy) - i(x - iy) + 1 = x^2 + y^2 - 2y + 1 \\ \\ Le numerateur: \\ \\ (z - 1 + 2i)(\bar{z} + i) = z.\bar{z} + i(x + iy) - (x - iy) - i + 2i(x - iy) - 2 \\ = x^2 - x + y^2 + y - 2 + i(3x + y - 1)


4$ \blue \rm Finalement Z = \frac{x^2 - x + y^2 + y - 2 + i(3x + y - 1)}{x^2 + (y - 1)^2}

Posté par
Solid-Snake
re : Nombres complexes TS 04-10-10 à 18:36

Ok, c'est bon j'ai réussi à terminer l'exercice !
Merci beaucoup d'avoir pris du temps pour m'aider !!

Posté par
mdr_non
re : Nombres complexes TS 04-10-10 à 18:38

de rien..

y a tous le reste de l'exercice sur l'autre topic..



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