Bonjour,

Pour 1), je pense que la récurrence est toute indiquée.

Rebonjour lake,
En montrant qu'elle est aussi vraie pour n+1?

Il faut d'abord initialiser : montrer qu'elle est vraie au rang

Puis l'hérédité où on suppose qu'elle est vraie pour un certain rang entier naturel fixé et où on démontre alors qu'elle est vraie au rang

  Ne pas oublier cette histoire de qui est cruciale pour la suite.

D'accord j'essaie au plus vite et je vous dis ce que j'obtiens.

Je te précise juste la propriété à démontrer par récurrence :

Il existe tels que avec

Une curiosité :
A moins que je ne me trompe, la commande \notequiv renvoyait ceci (en plus joli)   et ne semble plus fonctionner

Oui j'ai essayé de d'écrire la commande « non congru » mais je ne l'ai pas trouvé

Donc je n'ai pas pu le poser sur le papier mais je vais essayer de le faire ici:

Initialisation: pour n=0

(1+2i2)⁰=1
Et 1=1+i02

1-0=10[3]

Donc il existe (a₀,b₀)=(1,0) ² tq:
(1+2i2)⁰=a₀+ib₀2 avec a₀-b₀0[3]

salut

L'initialisation est faite.
Reste l'hérédité.

Mince! Merci carpediem !

Hérédité:

Supposons vraie (j'appelle la proposition que vous avez énoncée)
Montrons que P_n+1 reste vraie.

(1+2i2)ⁿ⁺¹=(a_n+ib_n2)(1+2i2)

(1+2i2)ⁿ⁺¹= a_n+ib_n2+a_n2i2-b_n22

(1+2i2)ⁿ⁺¹=(a_n-b_n22)+i(b_n+a_n22)

Et en posant (je ne sais pas si j'ai le droit de le faire):
a_n+1=a_n-b_n22

b_n+1=b_n+a_n22

On obtient l'égalité au rang n+1, d'où l'hérédité.

Donc on a bien montré l'égalité par récurrence.

Tuas commis des erreurs. (la méthode est bonne). Tu dois obtenir au final :

  

Tu dois ici reprendre tes calculs.

Et donc nous avons :

  

Avec l'hypothèse de récurrence où et sont des entiers relatifs, il est quasiment "évident" (que je n'aime pas ce mot!) que et le sont aussi.

  Sachant que _{(merci carpediem)}, il reste à vérifier que

Oui je vais pouvoir le poser sur le papier maintenant (je ne pouvais pas il y a quelques minutes) et ça sera sûrement plus lisible.
Je le refais directement et je vous dis

En posant sur le papier j'ai effectivement:



Ensuite montrer que:

Revient à montrer que:

0[3]

Oui mais donc :

  

et

2) est facile si on sait qu'un arccosinus est compris entre et donc que son sinus est positif.

Pour la 2 je trouve;

eⁱ=1/3+i(22)/3

Parfait.
La 3) maintenant

... il faut que tu cherches un peu : prends ton temps !

La 3 par l'absurde on suppose que (1/) est rationnel i.e qu'il existe (a,b)^*tel que:

(1/)=a/b

Ensuite, on peut dire que:

i=i(a/b)

Donc:

eⁱ=e^i(a/b)

Ainsi, en utilisant la question 2:

1/3+i(22/3)=(-1)^a/b

Ce qui est absurde car -1 puissance n'importe quoi n'est pas complexe?

Donc (1/) est irrationnel…

Ça me semble bizarre car je n'ai pas utilisé la question 1 alors que l'expression de eⁱ sous forme algébrique donne envie d'utiliser la question 1…

Enfin -1 est complexe mais surtout 1/3+i(22/3) est complexe non réel

Tu as bien commencé :

On suppose donc qu'il existe entier naturel et entier naturel non nul tel que

  donc que

Les complexes et sont donc égaux.

Essaie de les évaluer chacun de leur côté.

Euh... il va y avoir conflit de notations. Au lieu de , il vaut mieux prendre

Lorsque je les évalue, j'obtiens bien que:

e^ib=(1/3+i22/3)^b

et; e^ia=(-1)^a

Comme je te le disais plus haut, il vaut mieux changer de notations avec au lieu de :

  

et avec la question 1) :

  

D'autre part :

   (suivant la parité de )

Ces deux complexes étant égaux, on égale leurs parties réelles et leurs parties imaginaires.

On en déduit et

  et on essaie de trouver une incohérence ...

Donc;
e^iq=(1/3)q(1+2i2)^b et on pourrait peut être utiliser la question 1 mais elle s'applique que pour une puissance entière naturelle, et même si on pouvait, que mettre à la place des a_n et b_n…?

Regarde ce que j'ai écrit au dessus.

Pas claire mon message:
Je voulais dire:
e^iq=(1/3)^q(1+i22/3)^q

Ok je regarde

Il y a plusieurs absurdités;

En identifiant partie réelle et partie imaginaire on obtient que:

a_q=3^q

(Ici si q<0 a_q n'est plus un entier relatif)

Et surtout,

b_q=0 ce qui est absurde car on a supposé b non nul…

Je pense que ce n'est pas bien rédigé..

carpediem bonjour, vous pensez que je devrais appuyer sur cette justification?

Comme "absurdité", il y a mieux :

  

J'avais parlé de point crucial dans la récurrence du 1)

J'y ai pensé après coup! Aïe aïe aïe, j'aurais du m'en rappeler, vous aviez pourtant bien insisté.

Donc directement après l'absurdité je peux conclure en disant que / est irrationnel?

Bien sur : notre hypothèse rationnel conduit à une absurdité ; c'est que l'hypothèse en question est fausse.

En fait, je me disais que c'est nous qui avons à un moment décidé de dire qu'il existait, a_q et b_q tels que

e^iq=a_q/3^q+ib_q2/3^q
car la question 1 semblait s'y prêter, vous voyez? Je veux dire, si à ce moment là nous ne l'avions pas fait, serait on aussi arrivé à une absurdité?

Je pense que sans cette question 1), c'était cuit pour trouver une contradiction à un niveau élémentaire.

D'accord, je vois.

J'ai encore un exercice «original », que je vais poster. Il porte cette fois-ci sur les suites, les fonctions usuelles, les sommes et les limites..
toujours pareil, c'était un vrai plaisir de vous avoir à mes côtés, et donc voilà, si jamais, ça pourrait encore l'être pour cet exo!

La question 1) était d'ailleurs là pour la 3)!
De rien Kekeee
Mais maintenant je dois faire une pause. Si tu postes maintenant, il est probable que quelqu'un interviendra et que tu n'y perdras pas au change.

C'est vrai, la congruence n'est pas là par hasard..

Oui je pense qu'une petite pause ne serait pas de refus aussi.
Merci encore. Bonne soirée à vous lake!!