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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Norme

Posté par
pfff
23-11-22 à 18:28

Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre cet exercice. Merci de m'aider

Soient E le R-espace vectoriel des applications continues de [0; 1] dans R que l'on munit de la norme                     ∥f∥∞ = |f(x)|          
      supx∈[0,1]

et  L : E , f \int_{0}^{1}{f(t)dt}

1. Montrer que L est une forme linéaire continue de E dans R, et déterminer  sa norme N(L).

2. Soit F le sous-espace vectoriel de E constitué des applications de E nulles en 0, que l'on munit de la restriction de ∥ ∥∞ à F . Justifier que L|F est continue, et déterminer sa norme N(L|F ).


MES REPONSES

1- L est une forme linéaire
De plus \mid L(f) \mid \leq \int_{0}^{1}{\mid f(t)\mid dt }
                                   \leq \int_{0}^{1}{\mid \mid f\mid \mid _{\infty }dt}
                                   \leq \mid \mid f\mid \mid _{\infty }

Ainsi L est continue

On a donc N(L) 1

je n'arrive pas à déterminer la norme en sachant bien sur qu'elle fera 1

Posté par
pfff
re : Norme 23-11-22 à 18:31

Désolé, Il y'a eu un décalage    \mid \mid f \mid \mid _{\infty } = sup \mid f(x)\mid
                                                          x [0,1]

Posté par
carpediem
re : Norme 23-11-22 à 19:13

salut

1/ et si tu prenais la fonction constante f(x) = 1 et calculais ||L(f)|| ?

Posté par
pfff
re : Norme 23-11-22 à 22:40

Comment je dois calculer vu que je ne connais pas l'expression de  ||.||  

Posté par
pfff
re : Norme 23-11-22 à 22:51

Pour f : x1  , ||f||_{\infty } = 1 et L(f) = 1

Posté par
pfff
re : Norme 23-11-22 à 22:52

comment déterminer maintenant ||L|| mais dans l'exercice noté N(L)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Norme 23-11-22 à 23:05

Bonsoir pff


je me permets de répondre vu que carpediem (que je salue) est déconnecté



Comme tu l'as bien vu on a pour tout f\in E, \Large\boxed{|L(f)|\leqslant||f||_{\infty}} et donc \Large\boxed{N(L)=\sup_{f\in E-\{0\}}\frac{|L(f)|}{||f||_{\infty}}\leqslant1}



et on a si on note f_0 la fonction constante sur [0,1] de valeur 1,


\Large\boxed{|L(f_0)|=\left|\int_0^1f_0(t)dt\right|=\int_0^1dt=[t]_0^1=1\leqslant N(L).||f_0||_{\infty}=N(L)}.


On conclut alors que \Large\boxed{\red{N(L)=1}}. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
pfff
re : Norme 24-11-22 à 15:11

Merci beaucoup elhor_abdelali j'ai très bien compris

Posté par
pfff
re : Norme 24-11-22 à 15:17

Pour la 2e question déjà L|F est continue comme restriction d'une fonction continue
Mais comment ici je dois procéder pour determiner sa norme

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Norme 24-11-22 à 19:55

Eh bien ici c'est un peu plus subtile


On a toujours pour tout f\in F, \Large\boxed{|L(f)|\leqslant||f||_{\infty}} et donc \Large\boxed{N(L|_F)=\sup_{f\in F-\{0\}}\frac{|L(f)|}{||f||_{\infty}}\leqslant1}


pour voir que l'on a aussi \Large\boxed{N(L|_F)\geqslant1} (remarquer que f_0\notin F) on peut considérer (par exemple) la suite de fonctions (f_n)_{n\geqslant1} :


\Large\boxed{f_n(x)=\left\lbrace\begin{array}l nx~~,~~0\leqslant x\leqslant\frac{1}{n} \\ 1~~,~~\frac{1}{n}\leqslant x\leqslant1 \end{array}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Norme 24-11-22 à 20:54

Comme tu peux le voir on a bien \Large\boxed{\forall n\geqslant1~,~f_n\in F} et \Large\boxed{||f_n||_{\infty}=1}

et un calcul simple donne \Large\boxed{\forall n\geqslant1~,~L|_F(f_n)=1-\frac{1}{2n}}

et donc \Large\boxed{\forall n\geqslant1~,~N(L|_F)\geqslant1-\frac{1}{2n}} d'où le résultat par passage à la limite. sauf erreur de ma part bien entendu

Norme

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Norme 24-11-22 à 21:07

remarque : on peut montrer que cette norme n'est pas atteinte


c'est à dire qu'on ne peut pas trouver de f\in F telle que, ||f||_{\infty}=1 et |L|_F(f)|=1.

Posté par
pfff
re : Norme 28-11-22 à 09:22

Je ne comprends pas bien .

Si fn F alors elle doit être nulle en 0. Mais elle vaut 1 sur un certain intervalle

Et aussi je n'arrive pas à trouver L|F(fn)

Posté par
pfff
re : Norme 28-11-22 à 13:15

Pour la 1ere préoccupation ca va jai capté mais pour la 2e pas encore

Posté par
GBZM
re : Norme 28-11-22 à 13:48

Bonjour,
Vraiment, tu ne sais pas calculer \int_0^1f_n(t)\,dt pour le f_n défini par elhor_abdelali, dont il a dessiné le graphe plus haut ,



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