Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre cet exercice. Merci de m'aider
Soient E le R-espace vectoriel des applications continues de [0; 1] dans R que l'on munit de la norme ∥f∥∞ = |f(x)|
supx∈[0,1]
et L : E , f
1. Montrer que L est une forme linéaire continue de E dans R, et déterminer sa norme N(L).
2. Soit F le sous-espace vectoriel de E constitué des applications de E nulles en 0, que l'on munit de la restriction de ∥ ∥∞ à F . Justifier que L|F est continue, et déterminer sa norme N(L|F ).
MES REPONSES
1- L est une forme linéaire
De plus
Ainsi L est continue
On a donc N(L) 1
je n'arrive pas à déterminer la norme en sachant bien sur qu'elle fera 1
Bonsoir pff
je me permets de répondre vu que carpediem (que je salue) est déconnecté
Comme tu l'as bien vu on a pour tout , et donc
et on a si on note la fonction constante sur de valeur ,
.
On conclut alors que . sauf erreur de ma part bien entendu
Pour la 2e question déjà L|F est continue comme restriction d'une fonction continue
Mais comment ici je dois procéder pour determiner sa norme
Eh bien ici c'est un peu plus subtile
On a toujours pour tout , et donc
pour voir que l'on a aussi (remarquer que ) on peut considérer (par exemple) la suite de fonctions :
Comme tu peux le voir on a bien et
et un calcul simple donne
et donc d'où le résultat par passage à la limite. sauf erreur de ma part bien entendu
remarque : on peut montrer que cette norme n'est pas atteinte
c'est à dire qu'on ne peut pas trouver de telle que, et .
Je ne comprends pas bien .
Si fn F alors elle doit être nulle en 0. Mais elle vaut 1 sur un certain intervalle
Et aussi je n'arrive pas à trouver L|F(fn)
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