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Norme d'application linéaire

Posté par
Thomasdxb 30-07-22 à 19:53

Salut,

Je considère u une application linéaire de E dans F, deux espaces vectoriels normés.

J'arrive sans problème à démontrer que \sup_{\|x\|=1}\|u(x)\|=\sup_{x\neq 0} \frac{\|u(x)\|}{\|x\|}.

Par contre, comment montrer que ces deux quantités sont égales à \sup_{\|x\|\le1}\|u(x)\| ?

J'ai essayé tout d'abord de démontrer que \sup_{\|x\|=1}\|u(x)\|=\sup_{\|x\|\le1}\|u(x)\|.

Est-ce que je peux écrire que \{\|u(x)\|,\|x\|=1\}\subset \{\|u(x)\|,\|x\|\le1\} et donc que
\sup_{\|x\|=1}\|u(x)\|\le \sup_{\|x\|\le1}\|u(x)\| ?

Si oui, quelle est l'idée pour démontrer l'inégalité réciproque ?

Merci

Posté par
carpediemre : Norme d'application linéaire 30-07-22 à 21:00

salut

la démonstration du premier point devrait donner pourtant la réponse assez rapidement puisque u est linéaire donc pour tout x non nul  on a u(x) = \|x\| u \left( \dfrac x {\|x\|} \right)   et  \left\| \dfrac x {\|x\|} \right\| = 1 et ce quelle que soit la valeur de ||x|| donc en particulier si ||x|| 1 ...

Posté par
Ulmierere : Norme d'application linéaire 30-07-22 à 21:15

Oui pour ton inclusion et la conclusion que tu en tires. Tu majores d'abord le membre de droite par son sup, et ensuite tu passes au sup dans le membre de gauche

Pour l'autre sens, c'est exactement pareil:
si 0 < |x| \leqslant 1
alors    S := \sup \{|u(z)|, |z| = 1\}\geqslant \left\lvert u\left(\dfrac{x}{|x|}\right)\right\rvert = \dfrac{|u(x)|}{|x|} \geqslant |u(x)| (tu divises par un truc plus petit que 1).

Autrement dit A = \{|u(x)|, |x|\leqslant 1\} est majoré par S.
Reste plus qu'à passer au sup

Posté par
Thomasdxbre : Norme d'application linéaire 30-07-22 à 21:37

Merci énormément carpediem et Ulmiere pour vos réponses !

Posté par
Ulmierere : Norme d'application linéaire 31-07-22 à 11:40


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