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Norme et equivalence
Bonsoir!
Je viens de résoudre cette exercice:
Soit a 
. On pose P [X]: Na(P) = |P(a)| + 
01|P'(t)|dt. Montrer que:
1. Na est une norme.
2. N0 et N1 sont équivalentes.
3. Si a,b [0,1], alors Na et Nb sont équivalentes.
4. Soit Pn(X) = (X/2)n. Déterminer pour quelles normes Na, La suite (Pn) es convergente et quelle est sa limite.
5.Si 0
a<b et b>1, Alors aucune des normes Na, Nb n'est pmus fine que l'autre.
Et voila mon essai:
a . On pose P [X]: Na(P) = |P(a)| + 01|P'(t)|dt
1. Na est une norme?
soit P [X]
Na(P) = 0 \Longrightarrow |P(a)| + 01|P'(t)|dt = 0
\Longrightarrow |P(a)| = -01|P'(t)|dt
Comment faire S'il vous plait?
Merci d'avance
Bonjour,
Un nombre positif (car valeur absolue d'un nombre) est égale à un nombre négatif (car opposé de l'intégrale d'une quantité positive), que dire de ce nombre ?
Oui 
je n'ai pas mentionné ça
Donc P = 0
conclusion: Na(P) = 0 Alors P=0 (*)
soit 
et P [X]
Na(P) = |P(a)| + 01|P'(t)|dt
= |||P(a)| + 01|||P'(t)|dt
= |||P(a)| + ||01|P'(t)|dt
= |(||P(a)| + 01|P'(t)|dt)
= Na(P)
conclusion: 
et P[X]
Na(P) = ||Na(P) (**)
Soit P,Q[X]
Na(P+Q) = |P(a) + Q(a)| + 01|P'(t)+ Q'(t)|dt
or |P(a) + Q(a)| |P(a)| + |Q(a)| et 01|P'(t)+ Q'(t)|dt 01|P'(t)| + |Q'(t)|dt= 01|P'(t)|dt + 01Q'(t)|dt
\Longrightarrow|P(a) + Q(a)| + 01|P'(t)+ Q'(t)|dt |P(a)| + |Q(a)| + 01|P'(t)|dt + 01Q'(t)|dt
= |P(a)| + 01|P'(t)|dt + |Q(a)| + 01Q'(t)|dt
= Na(P) + Na(Q)
conclusion: Na(P+Q) Na(P) + Na(Q) (***)
d'après (*),(**) et (***) Na est une norme.
2) Comment montrer cette equivalence?
La question 2 est un cas particulier de la 3
Soient a et b réels tels que 0ab1
De P(b) - P(a) = [a,b] P ' tu déduis que |P(b)| |P(b) - P(a)| + |P(a)| [0,1] |P '| + |P(a)| donc Nb 2Na
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