bonjour

sur R^n tu veux dire ?

oui tout à fait

Bonjour

Le mieux: fais le dessin de la boule unité pour les 3 normes. Les inégalités viennent de là.

en dimenssion finie il y a équivalence des normes

considères les normes les plus classiques:

Noo=Sup(|xi|;i=1àn)  où v=(x1,...,xn)

N1=Sigma(|xi|)

N2=rac(Sigma(xi²))  ; rac()=racine carré

alors
qq soit i |xi|<=Sup(|xi|)
donc Sigma(|xi|)<=n*Sup(|xi|) donc N1<=n*Noo

de plus il est évident que Noo<N1

(N1(v))²=(N2(v))²+2Sigma(|xi|.|xj|) i#j

comme 2|xi|.|xj|<= xi²+yi²   ; (schvartz)
donc
(N1(v))²<=(N2(v))²+(N2(v))²=2(N2(v))²

donc

N1(v)<=(V2)N2(v)

donc

(N2(v))²=Sigma(xi²)=(Noo(v))²+Sigma(xi²); xi#sup(xi))>=(Noo(v))²

donc Noo(v)<=N2(v)

donc

Noo(v)<=N1(v)<=nNoo(v)<=nN2(v)

donc par équivalence circulaire les trois norme N1,N2 et Noo sont équivalentes

je suis d'accord mais comment trouver ces fameuses constantes

elles sont dans l'inégalité de l'avant dernière ligne

ah ben je comprends pas alors

tu veux dire les meilleures constantes possibles ?  Tu majores pas trop brutalement, ensuite tu prends des cas particulier pour voir que tes constantes sont bien les meilleures .

exemple sur  R^2 : lxl+lyl =< 2 Sup(lxl,lyl)  est clair et 2  est le meilleur possible car on a égalité quand  x=y

ok je comprends merci beaucoup