Salut j'aimerai savoir si quelqu'un si quelqu'un peut m'expliquer svp commenton trouve les constantes présentes dans la relation exprimant l'équivalence des normes sur R. Merci d'avance.
Bonjour
Le mieux: fais le dessin de la boule unité pour les 3 normes. Les inégalités viennent de là.
en dimenssion finie il y a équivalence des normes
considères les normes les plus classiques:
Noo=Sup(|xi|;i=1àn) où v=(x1,...,xn)
N1=Sigma(|xi|)
N2=rac(Sigma(xi²)) ; rac()=racine carré
alors
qq soit i |xi|<=Sup(|xi|)
donc Sigma(|xi|)<=n*Sup(|xi|) donc N1<=n*Noo
de plus il est évident que Noo<N1
(N1(v))²=(N2(v))²+2Sigma(|xi|.|xj|) i#j
comme 2|xi|.|xj|<= xi²+yi² ; (schvartz)
donc
(N1(v))²<=(N2(v))²+(N2(v))²=2(N2(v))²
donc
N1(v)<=(V2)N2(v)
donc
(N2(v))²=Sigma(xi²)=(Noo(v))²+Sigma(xi²); xi#sup(xi))>=(Noo(v))²
donc Noo(v)<=N2(v)
donc
Noo(v)<=N1(v)<=nNoo(v)<=nN2(v)
donc par équivalence circulaire les trois norme N1,N2 et Noo sont équivalentes
tu veux dire les meilleures constantes possibles ? Tu majores pas trop brutalement, ensuite tu prends des cas particulier pour voir que tes constantes sont bien les meilleures .
exemple sur R^2 : lxl+lyl =< 2 Sup(lxl,lyl) est clair et 2 est le meilleur possible car on a égalité quand x=y
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