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Normes équivalentes, fermé , compact.
Bonjour à tous,
J'ai besoin d'un coup de main pour un exercice sur les espaces vectoriels normés.
Merci d'avance.
Énoncé :
1. Soit le
-espace vectoriel des fonctions de classe C1 sur [0, 1] tels que f(0)=0.
Pour tout f 
E, on définit deux normes sur E par :
et
.
(a) Montrer que et
sont équivalentes sur E.
(b) Toutes les normes définies sur E sont-elles toujours équivalentes ?
2. Soient F=² un -espace vectoriel normé de dimension 2 et A= {(x,y) F : x² + xy + y² ≤1} un sous-ensemble de F.
(a) L'ensemble A est-il un fermé ? Justifier.
(b) L'ensemble A est-il un compact de F? Justifier.
Pour la question 1.(a), je me suis proposé de chercher des réels strictement positifs a et b tels pour tout f appartenant à E, aN2(f)≤N1(f)≤bN2(f).
En utilisant l'inégalité triangulaire j'ai pu trouvé a=1 :
N2(f)≤N1(f). Mais je peine à trouver b.
Pour question 1.(b) , toutes les normes ne sont pas équivalentes sur E car bien qu'étant un espace vectoriel normé, il n'est pas de dimension finie (en tant qu'espace de fonctions).
Bonjour 
D'une part on a clairement
.
Et d'une autre, pour toute fonction de
et tout
, le TAF appliqué à
sur
donne l'existence de tel que
d'où l'on déduit que
et en écrivant on voit que
ce qui donne
sauf erreur de ma part bien entendu
Merci bien...
Je veux à présent montrer à la question 2.(a) est un fermé. Je dois ainsi montrer que son complémentaire est un ouvert.
Le complémentaire de A est l'ensemble des (x,y) tels que x² + xy +y²>1
<=> Mais là je ne trouve vraiment pas un truc intéressant.
J'ai plutôt essayé de réécrire A:
x²+ xy + y²≤1
<=> (x-y/2)² + ¾y²≤1
<=> d((X, Y) , (0, 0)) ≤ 1 avec d la distance entre (X,Y) et (0,0) tels que X=x-y/2 et Y=(y√3)/2.
Puis-je ainsi écrire pour parvenir à la conclusion selon laquelle A serait une boule fermé unité centré en (X, Y) donc un fermé ?
okay je vois.
Donc A ( un sous-ensemble de F ) est ainsi un fermé.
Pour la 2.(a), je peux utiliser le théorème de Borel-Lebesgue puisque F est de dimension finie.
Ainsi je dois montrer qu'il est borné et fermé (qui est déjà fait).
Je pars donc de la boule unité fermée [0, 1] qui est l'ensemble des X'(x,y) appartenant à F tels que ||X'||≤1 ..
<=> 0≤||X'||≤1
<=> 0≤x² + y²≤1
J'aimerais montrer que l'image réciproque de [0, 1] est bornée
Pour la 1)b), il ne suffit pas de dire qu'on est en dimension infinie, on attend de toi un contre-exemple simple
Pour la 2)b), carpediem t'a donné une écriture comme somme de carrés, positifs. Donc tu peux en déduire une inégalité triviale concernant y, et par symétrie, elle concerne x aussi, ce qui veut dire que F est inclus dans une boule d'un certain rayon
D'accord.
Voici les inégalités que j'ai écrites :
3y²/4 ≤ (x + y/2)² + 3y²/4
et
3x²/4 ≤ (x + y/2)² + 3y²/4
Je partage la remarque de Ulmiere pour la 1)b)
Pour la 2)a) et b) on peut aussi montrer que l'ensemble est exactement la boule unité fermée de
pour un certain produit scalaire à préciser !
Je pense qu'il s'agit du produit scalaire q / q(x,y)=(x+y/2)² + ¾y² .
Mais je peine encore à montrer que A est borné.
L'inégalité que j'avais écrite :
3y²/4 ≤ (x + y/2)² + 3y²/4 ≤ (x+y)²
<=> 0≤ (x+ y/2)² +3y²/4 ≤ (x+y)²
tu te compliques bien les choses pour rien :
on a
minoré par 0 car somme de carrés
majoré par 1 car c'est l'énoncé
si la somme de deux nombres positifs est majorée par 1 c'est que ces deux nombres sont majorés par 1
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