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normes, majoration et continuité.
Bonjour à tous!
je travaille sur un dm qui compare toutes sortes de normes on a
C°(I) qui désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues de I dans R
||f||
= sup |f(x)| lorsque x décrit I
on désigne par C1(I) l'espace vectoriel réel des fonctions de classe C1 de I dans R et on note L1(I) l'ensemble des fonctions f appartenant à C°(I) tel que
|f| existe et pour tout f de 
, ||f||1 = |f|
de même on désigne par L2(I) l'ensemble des fonctions de C°(I) tel que |f|² existe et pour tout f de L2(I)
||f||2 = 
( |f|²)
on désigne par g l'application g:f->g(f) qui est linéaire sur C°(I) avec g(f)(x)= exp(-cx) (de 0 à x) exp(ct)f(t)dt avec c une constante strictement positive
j'ai montré l'existence de M1 M2 M0 A B tel que pour tout f de C°(I)
||f||1 
M1||f||2 M2||f||
||g(f)|| M0||f||
|g(f)(x)| A||f||1
|g(f)(x)| B||f||2
je dois en déduire qu'il existe K tel que ||g(f)||2 K ||f||2 et moi je ne vois pas comment je pourrais en déduire quelque chose, les normes désignent des choses différentes à chaque fois.
Merci par avance pour votre aide
A bientôt
Marie
J'ai oublié de préciser, I est un segment [a,b] pour ces questions 
désolé , car c'est très important
Bonjour Marie
Si I est segment, effectivement ça change tout. 
Dans ce cas, voici une indication : pense à une inégalité classique avec les intégrales.
Kaiser
j'ai pensé à l'inégalité de la moyenne ou inégalité de cauchy schwartz mais je vois pas comment utiliser les inégalités précédentes car j'ai l'impression que c'est ce qu'on me demande...
après je pense qu'il est possible de prendre le calcul à zéro et de montrer l'existence de K mais je ne vois pas comment faire autrement que ça
Merci par avance Kaiser ( ou quelqu'un d'autre )
Au temps pour moi ! 
En fait, je crois que c'est plus bête que ça !
Utilise la dernière inégalité que tu as montrée.
Comme tu as une majoration de ta fonction, tu peux élever le tout au carré et ensuite ...
Kaiser
et oui!!! c'est évident, je l'avais même pas vu, j'ai un peu honte... merci bien !
je bloque à un autre endroit
maintenant I=[0; +infini[ il faut démontrer que g est continue sur L1(I)
je pense utiliser le théorème d'équivalence: il faut montrer qu'il existe une constante k telle que pour tout f de L1(I)
||g(f)||1 k||f||1
il reste le problème de la double intégrale, dans l'intégrale j'arrive pas à voir comment on pourrait majorer exp(2ct),
j'ai majoré exp(-2cx) par 1 comme on intégre de 0 à l'infini mais je vois pas comment agir sur l'intégrale de 0 à x...
j'espère que tu arrives à suivre ce que je dis ..c'est possible que je sois pas bien clair
merci par avance !
mais non, mais non !
Sinon, pourquoi te retrouves-tu avec . C'est la norme
qu'il faut majorer, pas la norme
, non ?
de plus, je pense que majorer par 1 risque d'être trop brutal.
Kaiser
Bonjour! escuse moi Kaiser j'ai pris un week end sans travail! j'en avais besoin!
oui tu as raison c'est la norme 1 et non la 2 ( j'ai bien fait de prendre un peu de repos)
je reprends la première question posé sur le segment [a,b]:
on a |g(f)(x)| B||f||2
on met au carré |g(f)(x)|² B²||f||2²
on intégre sur [a,b] qui conserve l'égalité
|g(f)(x)|² B²||f||2²
puis je ensuite écrire que ||g(f)||2 B (b-a) ||f||2 ???
merci par avance et bonne journée
pour reprendre la deuxième question :
vous parlez d'une intégration par parties...mais ceci ne se fait que sur un segment... dois je poser une suite de segments Jn=[1/n ;n ] puis faire tendre n vers l'infini puisque l'intégrale existe ?
le second problème est que:
|g(f)(x)dx exp(-cx)exp(ct)|f(t)|dt dx
d'où
(sur Jn)|g(f)(x)dx (sur Jn) exp(-cx)sup (lorsque t décrit [0,x] de exp(ct)(0àx)|f(t)|dt dx
soit
(sur Jn)|g(f)(x)dx (sur Jn)exp(-cx)exp(cx)(de 0 à x)|f(t)|dt dx
d'où
(sur Jn)|g(f)(x)dx (sur Jn)(0 à x)|f(t)|dt dx
mais comment sortir de cette double intégrable pour se ramener à ||f||1 ?
Merci par avance et à bientôt
Melle Papillon
Bonjour Marie
Pour régler ton problème d'intégration par partie, le plus simple ne serait-il pas de fixer a > 0 , d'intégrer par partie sur [0,a] (qui est un segment) et de faire tendre a vers l'infini ?
Je dis ça à tout hasard, si cela peut t'aider !
Romain
Salut Romain! ça fait plaisir de te voir ça se passe bien la spé? ( j'ai plus ton mail et moi j'ai changé d'ailleurs donc si tu veux me le redonner)
pour mon problème je pense que c'est complétement équivalent le segement Jn et le segment [0,a] les deux sont un segment
je crois enfin comprendre ce que vous voulez dire par vos intégration par partie, on considère l'intégrale centrale comme la fonction à dériver c'est ça ?
Salut Marie et Romain
Marie > effectivement pour la première question, c'est bien ce qu'il faut faire.
pour mon problème je pense que c'est complétement équivalent le segement Jn et le segment [0,a] les deux sont un segment
oui mais seulement après avoir montré que notre fonction est bien intégrable.
En effet, si l'on prend des intervalle partriculiers, et qu'on fait tendre vers l'infini ça ne nous dit pas que la fonction est intégrable.
Il faut donc utiliser ce que propose Romain et prendre a réel.
Vois-tu où je veux en venir ?
je crois enfin comprendre ce que vous voulez dire par vos intégration par partie, on considère l'intégrale centrale comme la fonction à dériver c'est ça ?
oui
Kaiser
P.S : tu n'as pas à t'excuser (je sais ce que c'est : je suis déjà passé par là
)Ah Kaiser le super héros!
j'ai déjà montré dans des questions antérieures l'existence de cette intégrale
mais pour moi c'est quzand même équivalent les segments Jn et [0,a] car l'intégrale existe sur [0,infini[
Merci pour ton aide, j'ai encore un pitit problème
si on a une fonction en DSE, est on sur que g de cette fonctiion (si elle existe -autre problème) est un DSE?
Je pense que oui car elle s'écrit en fonction de puissance donc trouver une primitive est façile mais pour le démontrer rigoureusement:
ma fonction est un DSE donc elle s'écrit f(x) = 
an x^n
ainsi (je dois montrer que g(f) est un DSE):
on peut dire qu'on cherche une primitive de la forme bn x^n exp(ct) (c'est la méthode en général pour une fonction puissance mutliplié par une exponentielle)
le problème que je rencontre c'est comment inverser somme et intégrale , on se sait pas assez de choses pour utiliser les théorèmes qui permettent cela...
J'essaie d'expliquer ce que je voulais dire :
prenons par exemple la fonction sinus.
elle n'est pas intégrable et son intégrale n'existe pas.
Pourtant pour tout entier naturel n, on a :
et donc la limite existe lorsque n tend vers l'infini !
Kaiser
Ah Kaiser le super héros!
:D
mais pour moi c'est quzand même équivalent les segments Jn et [0,a] car l'intégrale existe sur [0,infini[
dans ce cas, je suis d'accord avec toi !
En ce qui concerne ton DSE, utilise le fait que si f et h sont DSE avec des rayons de convergence R et R', alors le produit fh est DSE avec un rayon de convergence supérieur à min( R,R') et que l'intégration ne change pas le rayon de convergence.
Kaiser
P.S : as-tu réussi à résoudre ton problème d'IPP et donc à montrer que ton application définie dans ton message posté le 17/02/2007 à 14:08 est continue.
je sais pas encore si j'ai réussi, le forum est trop divertissant! c'est terrible!
nous n'avons pas encore vu je crois que l'intégration ne changeait pas le rayon de convergence, mais je ne vois pas comment faire avec l'exponentielle exp(ct) car on doit montrer que g(f)(x)= .... et pour l'instant j'ai l'intégrale qui bloque 
Bon dans ce cas, on va le redémontrer : en fait, on n'a pas besoin de dire combien vaut le rayon de convergence.
Mais as-tu tout de même vu le résultat sur le produit de deux fonctions DSE dont je t'ai parlé ?
Kaiser
P.S :
le forum est trop divertissant! c'est terrible!
surtout le forum lycée !
je fais de mon mieux, je donne des cours à des lycéens donc j'ai une idée de ce qui leurs posent problème, alors qu'ici déjà c'est moins mon niveau ( quoi que parfois...) et je maîtrise pas totalement! je préfère être sure de moi
oui j'ai vu le résultat sur le produit, mais j'ai du mal à voir ta démarche, peux tu me l'expliquer plus en profondeur avant de faire ta superbe démo ?
Merci par avance
En gros, il y a 3 étapes :
1) on montre que ce qui est sous l'intégrale est DSE
2) on montre qu'on peut intégrer terme à terme la série entière obtenue.
3) on réutilise à nouveau le résultat sur le produit de fonctions DSE en disant l'intégrale multipliée par l'exponentielle est DSE
Est-ce OK ?
Kaiser
P.S essaie d'avoir un peu plus confiance en toi ! (je sais : c'est plus facile à dire qu'à faire )
ça se voit tant que ça le problème de confiance en soi dans mes messages?
Oui j'ai bien compris la méthode, utilise t on le DSE de l'exponentielle ?
ça se voit tant que ça le problème de confiance en soi dans mes messages?
En général, non, mais dans ton dernier un tout pitit peu !
utilise t on le DSE de l'exponentielle ?
non, on fait tout ça abstraitement et donc lorsque l'on dit que le DSE existe, on ne l'explicite pas.
Par exemple, comme on sait que la fonction sous l'intégrale est DSE alors on dit simplement : " soit
Autrement dit : aucun calcul moche !
Kaiser
je veux bien que tu la détailles s'il te plait.les grandes lignes, ça m'intéresse pas qu'on fasse mon boulot à ma place mais c'est plus pour la rigueur, la démarche et le plan...
OK !
1) D'abord, si f est DSE avec un rayon de convergence R, alors montre que la fonction est DSE avec un rayon de convergence supérieur ou égal à R.
2) Ensuite, fixe un réel x dans l'intervalle ]-R,R[ et montre que l'on peut intégrer la série entière terme à terme et essaie de minorer le rayon de convergence de la série entière obtenue.
3) conclus en utilisant le résultat sur le produit de fonctions DSE.
Kaiser
P.S : j'espère que tu n'as pas mal pris mon message de 12h14 !
Pourquoi je prendrai mal ton message? il n'y a rien de méchant, la vérité ne me fache pas, j'ai peut etre pas trop confiance en moi mais j'assume qui je suis, j'ai pas honte de le dire, c'est la vie, ça fait partie de mes petites faiblesses.
Passons aux choses sérieuses qui sont plus intéressant que ma psychanalyse )
montrons l'étape1:
ce cirecquiert la demonstration: si deux fonctions sont des DSE alors leur produit l'est. je pense que la demo se fait avec des signes sommes et tout, je peux essayer de la faire et je te demande ensuite si ça me bloque...
étape2:
je pensais qu'on fixait un n et qu'on intégrait par rapport à un n fixé et que x resté variable, en fixant x on obtient un réel sous l'intégrale donc on peut sortir de l'intégrale c'est ça ?
la dernière étape me va bien
Merci pour ton aide en tout cas
Pourquoi je prendrai mal ton message?
C'était pour me rassurer. En effet, sur l'
et plus généralement sur Internet, les messages peuvent être mal interprétés alors je voulais en avoir le coeur net ! (ouf ! )
montrons l'étape1:
ce cirecquiert la demonstration: si deux fonctions sont des DSE alors leur produit l'est. je pense que la demo se fait avec des signes sommes et tout, je peux essayer de la faire et je te demande ensuite si ça me bloque...
OK, pas de problème !
étape2:
je pensais qu'on fixait un n et qu'on intégrait par rapport à un n fixé et que x resté variable, en fixant x on obtient un réel sous l'intégrale donc on peut sortir de l'intégrale c'est ça ?
Pourquoi veux-tu fixer n ?
En fait, ici lorsque l'on fixe x dans ]-,R,R[, c'est pour simplement établir que l'on a une série entière qui est définie en x.
Je sais pas si j'ai été clair sur ce coup-ci !!
Kaiser
J'adore la tête du smiley qui c'est pas si il a été clair...manque de confiance en soi ?
Autant pour moi j'ai confondu t et x, ça fait beaucoup de choses! en fixant x c'est comme intégrer sur un segment c'est ça ? et c'est ça qui nous prouve l'existence de cette intégrale sous forme de DSE ( lumière, je viens d'avoir une révélation)
ok ça me va bien...merci
je vais essayer la demo après le repas...après mes talents de mathématicienne je vais me plonger dans mes talents de cuisinière!
J'adore la tête du smiley qui c'est pas si il a été clair...manque de confiance en soi ?
C'est bien possible !
en fixant x c'est comme intégrer sur un segment c'est ça ? et c'est ça qui nous prouve l'existence de cette intégrale sous forme de DSE ( lumière, je viens d'avoir une révélation)
En fait, pas tout à fait, pour montrer que c'est un DSE, il faut intervertir (et prouver que c'est possible) les signes sommes et intégrale !
je vais essayer la demo après le repas...après mes talents de mathématicienne je vais me plonger dans mes talents de cuisinière!
:D
OK, bon appétit !
Kaiser
Hi! je verai la demo tout à l'heure après un gros somme, j'essaye de boucler la suite avant...
On a maintenant I intervalle quelconque de R contenant 0
on définit encore une nouvelle norme pour tout f de H(I) avec H(I) est espace vectoriel réel des fonctions f de classe C1 sur I telles que f et f' soient de carrés intégrables sur I
||f||h = (f²(t)dtf'²(t)dt
On suppose de plus que g est un endomorphisme continu de L²(I)
on doit montrer qu'il existe A>0 telq ue pour tout f de H(I) ||g(f)||hA ||f||2
dans mes recherches j'ai pensé à utiliser l'hypothèse de continuité, donc il existe une constante k telle que ||g(f)||hk ||f||h mais ceci n'est pas très utile car c'est dur de supprimer les f'² ensuite...j'en ai donc conclu que l'idée était à rejeter. mais hélas pas d'autres idées...
Je voulais te demander quelles étaient les méthodes en général pour montrer la bijectivité... car je dois montrer que g est un isomorphisme de L²(I) dans H(I) , j'ai le reflexe algébré linéraire avec le noyau réduit à la fonction nulle ( suivant l'ensemble de départ) mais ici ce n'est pas vraiment adaptable, l'injectivité semble assez instinctive mais la surjectivité une autre paire de coups... 
n'oublie pas de te reposer un peu aussi...prendre du temps pour toi
eh bien j'ai
||g(h)||h = (g(f)²(t) dt +g(f)'²(t)dt
||g(h)||h = ((g(f)²(t)+g(f)'²(t))dt
||g(h)||h = (g(f)²(t) dt+f²(t)+c² g(f)²(t) dt -2c f(t)g(f)(t) )dt
(car g(f)'= f -c g(f) )
après je pensais utiliser cette histoire de continuité mais bof bof
n'oublie pas de te reposer un peu aussi...prendre du temps pour toiMerci mais tu sais, je n'ai pas vraiment sommeil et demain je n'ai pas cours !
Pour la surjectivité, en général, il n'y a pas 36 solutions : soit on a le reflexe algèbre linéaire (ça c'est surtout en dimension que ça sert via le théorème du rang), soit on résout une équation, soit on reconnait une situation connue.
Ici, il va falloir reconnaitre une situation connue.
voici donc ma question : n'auraistu pas déjà vu des fonctions de la forme g(f) ?
Kaiser
à minuit 36 certaines choses doivent m'échapper, je vais pas dire non de peur de rencontrer l'évidence mais à froid...non
enfaite le sujet part de là on définit g(f) comme la solution de l'équation différentielle y'+cy=f ce qui nous assure l'existence et l'unicité de la solution mais ceci n'assure t il pas que l'injectivité
pour la surjectivité il faudrait dire que tout fonctionC1 tel que f et f' soient de carrés intégrables sur I et tel que f(0)=0 ( condition de l'énoncé) alors elle peut s'écrire de la forme... mais ceci n'aide pas vraiment
je vais me coucher, je commence à être trop inefficace... merci encore pour ton aide et j'espère à demain
fais de beaux rêves
l'existence assure la surjectivité, non ?
Ensuite, on a bien supposé que g était un endomorphisme des fonctions de carré intégrables ?
donc si f est de carré intégrable, alors g(f) aussi et l'équation différentielle implique aussi que g(f)' est intégrable.
Kaiser
Bonjour,
je ne vois toujours pas pour l'histoire de la norme ( post 00.32 et 00.12)
si quelqu'un a une petite idée qui surgit de son bocal... Merci par avance
ps: Kaiser, oui l'existence assure la surjectivité, après minuit je ne suis pas très exploitable
Bonjour
Je vais réécrire ce que tu as trouvé en termes de normes :
à la deuxième ligne, on a :
Tu es d'accord avec moi ?
Kaiser
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