Exo(Niveau TS) Dans un disque de rayon R on découpe un secteur circulaire de a radians.
En joignant les deux bords droits du secteur restant, on fabrique un cornet en forme de cône.
Pour quelle valeur de a le volume du cornet est - il maximal?
INDICATIONS DE RESOLUTION : On note r le rayon de base du cône(soit le petit cercle), h sa hauteur et V(h) son volume.
1) Exprimer V(h) en fonction de R(rayon du grand cercle) et h, et déterminer h pour que V(h) soit maximal.
2) Pour cette valeur de h, exprimer r en fonction de R, puis calculer a.
j'obtiens : a/A = R²/r² , donc r = R*{\sqr{\frac{A}{a}}, mais je ne vois pas comment continuer
1/
En faisant un petit dessin de ton cône (en 3D), tu peux voir que le triangle formé du sommet du cône S, du centre 0 du cercle de base (de rayon r) et d'un point A sur ce cercle de base est rectangle en O.
Or OA = r, OS = h et SA = R donc
.
Le volume du cône valant , on trouve que
.
Pour le maximum, tu dérives par rapport à h et cherches à annuler la dérivée. Tu trouves ainsi : et
2/
Le périmètre du cercle de base du cône vaut :
comme de plus en réinjectant, on trouve
Pour l'optimum, donc
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