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Orthogonalité.

Posté par goufa (invité) 09-01-06 à 19:12

Bonsoir, j'ai des problèmes à résoudre un exo pourtant basique sur le produit scalaire:

Soient u et v, deux vecteurs non colinéaires du plan.

1°) a) montrer que \vec{u}+\vec{v} et \vec{u}-\vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, les vecteurs \vec{u} et \vec{v} ont la même norme.
b) montrer que les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si, et seulement si, norme de ||\vec{u}+\vec{v}||=||\vec{u}-\vec{v}||
2°) soit ABCD un parallélogramme.
Dans chacun des cas suivants, montrer que les deux propriétés énoncées sont équivalentes et préciser la nature du parallélogramme
a)
100$ .ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur;
100$ .ABCD a ses diagonales perpendiculaires.
b)
100$ .ABCD a deux côtés consécutifs perpendiculaires;
100$ .ABCD a ses diagonales de même longueur.

Ce que j'ai fait: (pas grand chose )
1)J'ai essayé de developper (\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})=0\\\vec{u}.\vec{u}+\vec{u}.\vec{-v}+\vec{v}.\vec{u}+\vec{v}.\vec{-v}=0. La définition de l'orthogonalité quoi..
2)
on a \vec{u}=\vec{AB} et \vec{v}=\vec{BC}
a)
100$ .ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur \rightarrow||\vec{u}||=||\vec{v}||.
100$ . les diagonales d'un parallélograme s'écrivent: \vec{u}+\vec{v} et \vec{u}-\vec{v}.
Donc d'apres 1)a) les deux proprietés sont équivalentes.
b)
100$ .ABCD a deux côtés consécutifs perpendiculaires \rightarrow\vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux
100$ . Les longueurs des diagonales d'un parallélogramme sont ||\vec{u}+\vec{v}|| et ||\vec{u}-\vec{v}||
Donc d'apres 1)b) les deux propriétés sont équivalentes.

Merci.

Posté par matthieu1 (invité)re : Orthogonalité. 09-01-06 à 19:16

question 1 : en reprenant ce que tu as fait :
\vec{u}.\vec{u}+\vec{u}.\vec{v}-\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{v}=0
\vec{u}.\vec{u}+\vec{v}.\vec{v}=0
||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2=0

Posté par goufa (invité)re : Orthogonalité. 09-01-06 à 19:32

Merci matthieu ,
pour la 1)b) je pars de:
||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2=0\\\sqrt{\vec{u}.\vec{u}}^2+\sqrt{\vec{v}.\vec{v}}^2=0\\\vec{u}.\vec{u}+\vec{v}.\vec{v}=0
et je sais pas comment finir.

Posté par matthieu1 (invité)question 1b 09-01-06 à 20:53

||\vec{u+v}||=||\vec{u-v}||
\vec{u+v}.\vec{u+v}=\vec{u-v}.\vec{u-v}
\vec{u}.\vec{u}+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{v}=\vec{u}.\vec{u}-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}.\vec{v}
2 \vec{u}.\vec{v}=-2\vec{u}.\vec{v}
\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{v}=0
\vec{u}.\vec{v}=0
\vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux

++, Matthieu


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