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Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:28

Kaiser, reste à démontrer que fn converge vers quelque chose qui est continue ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:29

euhh j'ai ça:

||f_{n+p}-f_{n}||=||f_{n+p}-f_{n}||_{\infty} + k(f_{n+p}-f_{n}) \le a_n

Et

||f_{n+p}-f_n|| \le an

Non??

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:30

Je ne comprends plus rien : tu veux vraiment redémontrer que le fait que l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme infini est complet ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:31

robby > si, mais d'où vient le 2 de tout à l'heure ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:31

je veux comprendre à quel moment précise on utilise le fait que la limite uniforme d'une fonction continue est continue dans notre démo !

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:31

c'est pourtant bien parti!!!

excuse,la deuxieme sert à rien.
je vois pas pour montrer qu'elle est de Cauchy...?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:32

(je m'étais enmmélé les pinceaux avec les inégalités...)

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:33

Citation :
je veux comprendre à quel moment précise on utilise le fait que la limite uniforme d'une fonction continue est continue dans notre démo !


lorsque l'on aboutit à \Large{(f_{n})} de cauchy pour la norme infinie.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:34

robby > avec cette inégalité, on a l'inégalité \Large{k(f_{n+p}-f_{n})\leq a_{n}}

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:37

Exact!!
ok je pase à la 5)c)...

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:37

donc :
||f_n-f_m||_{\infty}\le e donc (f_n) de Cauchy pour la norme infinie
donc :
fn converge uniformément vers une limite f
or fn continue donc f continue ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:38

c'est bien ça !

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:44

euhh Kaiser,je saisi pas bien le "en déduire" à la fin de la 5)b)...
on a montrer fn->f uniformément,f continue
k(fn) de Cauchy...il faut en déduire que f est lipschitzienne??

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:45

Oufff!

Bref je passe à la suite :
|k(f_n)-k(f_m)|=|||f_n||-||f_n||_{\infty}-||f_m||+||f_m||_{\infty}|=|||f_n||-||f_m||+||f_m||_{\infty}-||f_n||_{\infty}|\le |||f_n||-||f_m|||+|||f_m||_{\infty}-||f_n||_{\infty}|\le e/2 + e/2=e

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:49

(perso j'ai fait avec la définition de k(f)...sup...)

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:50

k(f)=||f||-||f||_{\infty} ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:51

non avec le sup sur [0,1] du rapport f(x)-f(y) par x-y....
au début de l'néoncé il me semble.

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:52

c'est faux ce que j'ai mis ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:53

lol je sais pas le long truc j'ai pas lu jusqu'au bout...
le petit truc aprés non c'est bon.

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:54

je comprend tout sauf la derniere inégalité.

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:57

on a :
k(f_n)=||f_n||-||f_n||_{\infty}
et :
k(f_m)=||f_m||-||f_m||_{\infty}
donc :
k(f_n)-k(f_m)=(||f_n||-||f_n||_{\infty})-(||f_m||-||f_m||_{\infty})=||f_n||-||f_n||_{\infty}-||f_m||+||f_m||_{\infty}=||f_n||-||f_m||+||f_m||_{\infty}-||f_n||_{\infty}

on met les valeurs absolues après :
|k(f_n)-k(f_m)|=|\,||f_n||-||f_m||+||f_m||_{\infty}-||f_n||_{\infty}|\le |\,||f_n||-||f_m||\,|+|\,||f_m||_{\infty}-||f_n||_{\infty}|

?

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:57

on a montré juste avant que fn converge uniformément ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 19:59

??
non non mais c'est le truc avec les e/2...

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:01

ah fn de cauchy non ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:03

humm oué je veux bien mais e/2...?? (moi j'aurais dit 2an...)

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:04

oué ca nous arrange après quand on somme lol e/2+e/2=e
toute façon c pour tout e>0 non ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:06

humm moué soit...(j'attendrais vérification de Kaiser pour etre totalement convaincu )

ok et donc aprés tu vois toi pourquoi en déduite f dans E??

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:07

f dans E ca veut dire que f est continue non ?
mais la limite uniforme d'une fonction continue est continue non ?? lool

on a deja fait ca

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:08

c'est ce que je pensais mais il mette en deduire aprés le k(fn) de Cauchy et je vois aps trop le rapport....

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:10

ah mince il est sortit kaiser
bref je pense que c'est ça.

après il faut montrer que kfn tend vers kf ??

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:12

euhh pourquoi k serait-il linéaire d'un coup?
non je pense pas!

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:16

je pense qu'on arrive à montrer que :
0\le k(f_n-f)\le k(f_n)+k(f)

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:17

euh - au lieu de + !
donc ca fait 0 d'un coté et f-f=0 de l'autre, non ?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:19

exact,j'ai la meme!
(je vais grailler je reviens)

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:19

me tambien!
a tte, mais ya Pekinexpress après

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:29

H_aldnoer > ce que tu as fait est correct.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:38

Merci kaiser de confirmer!
Pour la limite c'est bon aussi ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:44

tu n'as pas montré que \Large{(k(f_{n}))} convergeait vers k(f).

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:45

ok Kaiser et pour la limite?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:46

en effet c'est vrai si k est continue...non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:48

k serait continue pour quelle norme ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:48

pour celle la ||.||...?? n'est ce pas?

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:49

euh quoique je suis en trainde dire une betise la!

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:49

oui mais là on tourne en rond : on veut montrer que la suite converge au sens de ||.||.

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:50

en fait il faudrait montrer que k est continue pour ||.||...

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:51

Ah oui!

fn converge vers f
Or k est une application continue donc k(fn) converge vers k(f) ??

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:52

oui non mais k continue faut le montrer non?

Posté par
kaiser Moderateurre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:52

H_aldnoer > on sait seulement que la suite converge uniformément pas aux sens de ||.||

Kaiser

Posté par
robby3re : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:53

ahh oui c'est vrai!!

Posté par
H_aldnoerre : Ouvert, Norme et espace de Banach 27-03-07 à 20:53

il faut montrer que ||k(fn)-k(f)||\le e ?

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